ダイヤモンド構造の結合角が109.47°であることの導出

ダイヤモンド構造の結合角が109.47°であることを2つの方法で導いてみました。
この角度は、正四面体の中心から2つの頂点にそれぞれ向かう線がなす角と同じです。

内積を使う方法

この方法が一番エレガントです。

正四面体

正四面体

正四面体の4つの頂点をA、B、C、Dとします。
正四面体の中心Oを、原点に取ることとします。
さらに、正四面体の辺の長さを1とし、求めたい角(∠AOD等)をθとします。

Oから各頂点に向かうベクトルをそれぞれa、b、c、dとすると、中心(重心)が原点にあるので、

    $$a+b+c+d=0$$

です。この両辺にベクトルbとの内積をとると、

    \begin{eqnarray*}b\cdot (a+b+c+d)&=&b\cdot 0\\ b\cdot a+b\cdot b+b\cdot c+b\cdot d&=&0\\ 1\cdot 1 \cdot \cos \theta+1\cdot 1+1\cdot 1 \cdot \cos \theta+1\cdot 1 \cdot \cos \theta&=&0\\ \therefore 3\cos \theta&=&-1\\ \therefore \theta&=&\cos ^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)\end{eqnarray*}

となります。Excelで任意のセルを選び、

=ACOS(-1/3)

と入力すると、1.910633という値が得られます。これはラジアンですので、度に直すと、

    $$\theta\cong1.910633\left[rad\right]=1.910633\cdot \frac{180}{\pi}\left[^{\circ}\right]\cong109.4712\left[^{\circ}\right]$$

となります。

作図で求める方法

正四面体を真上から見た図

正四面体を真上から見た図

正四面体を真上から見ると正三角形BCDとして見えます。
BCの中点をMとすると、

    \begin{eqnarray*}BM:BD:MD&=&1:2:\sqrt 3\\ &=&\frac{1}{2}:1:\frac{\sqrt3}{2}\end{eqnarray*}

として、MDの距離が求まります。

次に、正四面体の頂点Aは、正三角形BCDの重心Gの鉛直方向にあるので、GDの距離を求めます。
三角形の重心は、中線を1:2に内分するので、

    $$GD=MD \cdot \frac{2}{3}=\frac{\sqrt3}{2}\cdot \frac{2}{3}=\frac{\sqrt3}{3}$$

となります。

正四面体の重心を通る断面図

正四面体の重心を通る断面図

ここで、平面AODで正四面体を切った時の断面図を考えます。

三角形AGDは、∠AGDを直角とする直角三角形なので、ピタゴラスの定理により、AGの距離を求めることができます。すなわち、

    $$AG=\sqrt{{AD}^2-{GD}^2}=\sqrt{1^2-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$

です。
ところで、三角錐OBCDは、対称性から、正四面体の1/4の体積があります。つまり、Oは線分AGを3:1に内分する点になり、

    $$OG=\frac{1}{4}AG=\frac{1}{4}\cdot \frac{\sqrt6}{3}=\frac{\sqrt6}{12} $$

です。
よって、各DOGをφとすると、

    $$\tan \phi=\frac{\frac{\sqrt3}{3}}{\frac{\sqrt6}{12}}=2\sqrt2\\ \therefore \phi=\tan^{-1}\left(2\sqrt{2}\right)$$

Excelで任意のセルを選び、

=DEGREES(ATAN(2*SQRT(2)))

と入力すると、(ラジアンから度への変換もして、)70.52878[°]という値が得られます。

求めたい角θはφの外角なので、

    $$\theta =180-\phi\cong180-70.52878=109.47122\left[^{\circ}\right]$$

となります。

まとめ

ダイヤモンド構造の結合角が109.47°であることを2つの方法で導きました。
今回の導出の過程で、有効数字はExcelで適当に出てきた数字としました。でも、文献では5桁で書いてあることが多そうです。普通の人は、円周率を3桁くらいでしか覚えていないのに、5桁も必要なのでしょうか?(そもそもsp3混成軌道が4つの等価な軌道になるという理論が腹落ちできていない)

趣味にまかせて本を読んでいると、今回のように、なんとなく導出しておかないと気持ち悪い事柄が出てきます。折に触れて残しておこうと思います。

ところで、内積って、使う場面によって強力ですね。今回つくづくそう思いましたし、以前、ベクトルが直交する場合に成分同士の積の和が0になることを証明する際にもそう思いました。

今回、三角形(二次元)の重心は中線を1:2に内分する点、四面体(三次元)の重心は頂点と重心を結ぶ線を1:3に内分する点というところが面白かったです。直線(一次元)の場合には、1:1に内分する点であることは明らかなので、四次元の場合には、きっと1:4に内分する点になるのだと思います。しらんけど。

 

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