ブランチライン・カプラの動作原理

ブランチライン・カプラの動作原理を説明します。必要最小限の説明ですので、詳しい理由を知りたい場合には、各リンク先を参照してください。

ブランチライン・カプラ

ブランチライン・カプラ

ブランチライン・カプラ

ブランチライン・カプラは、4つのポートを有する井桁状の分布定数回路です。4つのポートはそれぞれ特性インピーダンスZ0でマッチングがとられ、終端されます。

伝送線路が無損失の場合、ポート1から入力された電力はポート2とポート3から半分ずつ出力されます。このとき、出力される波の位相差は90°になります。ポート4からの出力はありません。

偶モードと奇モード

ブランチライン・カプラの動作は、偶モードと奇モードに分けて解析します。

偶モードと奇モードに分けて解析する方法は、対称回路を解析するための有力な手法の1つです。

偶モード

偶モード

偶モードでは、ポート1とポート4を共に+1/2の振幅で励振します。このとき、上下は対称に動作し、中央で切り離してもそれぞれの動作に影響を与えません。よって、上半分で解析し、下半分も同様と見なすことができます。切断面は開放、又はオープンといいます。

奇モード

奇モード

奇モードでは、ポート1を+1/2、ポート4を-1/2の振幅で励振します。このとき、上下は逆相に動作し、中央の交流的な電位を0としても、すなわち接地しても、それぞれの動作に影響を与えません。よって、上半分で解析し、下半分は符号を逆にすることで、結果を流用できます。切断面は接地、又はショートといいます。

回路解析では重ね合わせが成り立ちます。
偶モードと奇モードの結果を重ね合わせると、ポート4を励振しない状態で、ポート1を1の振幅で励振した場合の結果が得られます。

偶モードの解析

先ず、上半分を用いて偶モードで解析します。

ポート1、2間の伝送線路の特性インピーダンス(偶モード)

オープンスタブのインピーダンス

オープンスタブのインピーダンス

先ず、ポート2から下に延びる伝送線路に注目します。
これは、先端がオープンになっています。先端がオープンの伝送線路は一般的にオープンスタブと呼ばれます。スタブ(stub)は「切り株」とか「(鉛筆などの)使い残り」を意味します。

オープンスタブの反射係数

オープンスタブの反射係数

λ/8のオープンスタブのインピーダンスをスミスチャートで考えます。

オープン端はインピーダンスが無限大なので、スミスチャートの右端に位置します。このスミスチャートの特性インピーダンスは、伝送線路の特性インピーダンスであるZ0です。

オープンスタブの長さはλ/8であり、スミスチャート上では、時計回りにπ/2の回転角に相当します。よって、反射係数は-jになります。

これをインピーダンスZOpenStubに直すと、

    \begin{eqnarray*} Z_{OpenStub} &=& \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}Z_0=\frac{1-j}{1+j}Z_0\\ &= &\frac{\left(1-j\right)^{2}}{\left(1+j\right)\left(1-j\right)}Z_0=\frac{1-2j-1}{1+1}Z_0=-jZ_0 \end{eqnarray*}

となります。

λ/4伝送線路の特性インピーダンス(偶モード)

λ/4伝送線路の特性インピーダンス(偶モード)

次に、このオーブンスタブとポート2の終端抵抗を並列接続したインピーダンスを考えると、

    $$ Z_{OpenStub}//Z_0=\frac{Z_0\left(-jZ_0\right)}{Z_0-jZ_0}=\frac{-jZ_0\left(1+j\right)}{\left(1-j\right)\left(1+j\right)}=\frac{1-j}{2}Z_0 $$

となります。

この議論はポート1側でも同様に成り立ちます。すなわち、この並列インピーダンスは、ポート1側のオープンスタブと、ポート1の終端抵抗を並列接続したインピーダンスに一致します。

ところで、このポート1側の地点において、右側を見たときのインピーダンスを共役にすることができれば、マッチングがとれます。右側の見たときの具体的なインピーダンスとしては、

    $$ \frac{1+j}{2}Z_0 $$

です。この地点でマッチングを取ると、左側のオープンスタブが無損失回路かつ、後述のように相反定理も成り立つため、ポート1からみたインピーダンスもZ0になるように、マッチングが取れます。

λ/4線路で共役インピーダンスに変換する方法としては、特性インピーダンスの値を相乗平均にすることで実現できます。すなわち、このλ/4の伝送線路の特性インピーダンスは、

    $$ \sqrt{\frac{1-j}{2}Z_0\cdot\frac{1+j}{2}Z_0}=\frac{Z_0}{\sqrt{2}} $$

である必要があります。

ポート1、2間のSパラメータ(偶モード)

2端子対網の縦続接続(偶モード)

2端子対網の縦続接続(偶モード)

偶モードの上半分の回路は、オープンスタブ、λ/4伝送線路、オープンスタブの3つの縦続接続として考えることができます。

縦続接続するにはFパラメータが便利です。

オープンスタブは、並列インピーダンスなので、Fパラメータは、

    $$ \begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix}_{OpenStub} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\-\frac{1}{jZ_0} & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0 \\j\frac{1}{Z_0} & 1 \end{pmatrix} $$

となります。これはAD-BC=1なので、前に断っておいたように、相反定理が成り立っています。

また、無損失のλ/4伝送線路のFパラメータは、

    \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix}_{\lambda/4} &=& \begin{pmatrix}\cos \left(\beta\cdot\frac{\lambda}{4}\right) & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}}\sin \left(\beta\cdot\frac{\lambda}{4}\right)\\j\frac{\sqrt{2}}{Z_0}\sin \left(\beta\cdot\frac{\lambda}{4}\right) & \cos \left(\beta\cdot\frac{\lambda}{4}\right) \end{pmatrix} \\ &=& \begin{pmatrix}\cos \frac{\pi}{2} & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}}\sin \frac{\pi}{2} \\j\frac{\sqrt{2}}{Z_0}\sin \frac{\pi}{2} & \cos \frac{\pi}{2} \end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix}0 & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}} \\j\frac{\sqrt{2}}{Z_0} & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}

となります。ただし、\betaは位相定数で、\beta=2\pi/\lambdaです。

よって、縦続接続したときのFパラメータは、

    \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix}_{e} &=& \begin{pmatrix}1 & 0 \\j\frac{1}{Z_0} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}} \\j\frac{\sqrt{2}}{Z_0} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\j\frac{1}{Z_0} & 1 \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}0 & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}} \\j\frac{\sqrt{2}}{Z_0} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\j\frac{1}{Z_0} & 1 \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}} & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}} \\j\frac{1}{\sqrt{2}Z_0} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}

となります。

偶モードの反射係数と透過係数

偶モードの反射係数と透過係数

さらに、FパラメータをSパラメータに直すと、

    \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}S_{11} & S_{12} \\S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}_{e} &=& \frac{1}{A+\frac{B}{Z_0}+CZ_0+D}\begin{pmatrix}A+\frac{B}{Z_0}-CZ_0-D & 2\left(AD-BC\right) \\2 & -A+\frac{B}{Z_0}-CZ_0+D \end{pmatrix}\\ &=& \frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} & 2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right) \\2 & \frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\\ &=& \frac{1}{\left(-1+j\right)\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 2 \\2 & 0 \end{pmatrix}\\ &=& -\frac{1+j}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}

となります。

よって、

    $$ S_{11e}=S_{22e}=0 $$

なので、ポート1側もポート2側もマッチングがとれていることが分かります。また、透過係数は、

    $$ S_{21e}=-\frac{1+j}{\sqrt{2}} $$

となります。

奇モードの解析

次に、上半分を用いて奇モードで解析します。偶モードと同様の考え方です。

ポート1、2間の伝送線路の特性インピーダンス(奇モード)

ショートスタブのインピーダンス

ショートスタブのインピーダンス

ショートスタブのインピーダンスを求めます。

ショートスタブの反射係数

ショートスタブの反射係数

スミスチャートで反射係数を求めると、

    $$ Z_{ShortStub}=\frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}Z_0=\frac{1+j}{1-j}Z_0=jZ_0 $$

となります。

λ/4伝送線路の特性インピーダンス(奇モード)

λ/4伝送線路の特性インピーダンス(奇モード)

ショートスタブと終端抵抗を並列接続したインピーダンスは、

    $$ Z_{ShortStub}//Z_0=\frac{Z_0\cdot jZ_0}{Z_0+jZ_0} =\frac{1+j}{2}Z_0 $$

となります。よって、共役のインピーダンスは、

    $$ \frac{1-j}{2}Z_0 $$

です。
λ/4伝送線路によって共役インピーダンスに変換するためには、特性インピーダンスを相乗平均にすればよいので、

    $$ \sqrt{\frac{1+j}{2}Z_0\cdot\frac{1-j}{2}Z_0}=\frac{Z_0}{\sqrt{2}} $$

となります。これは、偶モードの結果と一致します。

ポート1、2間のSパラメータ(奇モード)

2端子対網の縦続接続(奇モード)

2端子対網の縦続接続(奇モード)

奇モードにおける2端子対網の縦続接続は、オープンスタブがショートスタブに置き換わってインピーダンスの符号が逆になります。縦続接続したときのFパラメータは、

    \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix}_{o} &=& \begin{pmatrix}1 & 0 \\-j\frac{1}{Z_0} & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}} \\j\frac{\sqrt{2}}{Z_0} & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\-j\frac{1}{Z_0} & 1 \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}0 & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}} \\j\frac{\sqrt{2}}{Z_0} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 \\-j\frac{1}{Z_0} & 1 \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & j\frac{Z_0}{\sqrt{2}} \\j\frac{1}{\sqrt{2}Z_0} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}

となります。

奇モードの反射係数と透過係数

奇モードの反射係数と透過係数

よって、Sパラメータは、

    \begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}S_{11} & S_{12} \\S_{21} & S_{22} \end{pmatrix}_{o} &=& \frac{1}{A+\frac{B}{Z_0}+CZ_0+D}\begin{pmatrix}A+\frac{B}{Z_0}-CZ_0-D & 2\left(AD-BC\right) \\2 & -A+\frac{B}{Z_0}-CZ_0+D \end{pmatrix}\\ &=& \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}}\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}} & 2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right) \\2 & -\frac{1}{\sqrt{2}}+j\frac{1}{\sqrt{2}}-j\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}\\ &=& \frac{1}{\left(1+j\right)\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 2 \\2 & 0 \end{pmatrix}\\ &=& \frac{1-j}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}0 & 1 \\1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}

となります。

よって、

    $$ S_{11o}=S_{22o}=0 $$

なので、奇モードにおいても、ポート1側とポート2側のマッチングがとれていることが分かります。また、透過係数は、

    $$ S_{21o}=\frac{1-j}{\sqrt{2}} $$

となります。

偶モードと奇モードの解析結果を重ね合わせる

ブランチライン・カプラ

ブランチライン・カプラ

偶モードと奇モードの解析で得られた反射係数や透過係数は、入力振幅を1として求めたときの値です。これらを重ね合わせる際には、振幅を1/2にすることに気を付けます。

先ず、ポート1とポート2の反射係数は、

    \begin{eqnarray*} S_{11}&=&\frac{1}{2}S_{11e}+\frac{1}{2}S_{11o}=\frac{0}{2}+\frac{0}{2}=0 \\ S_{22}&=&\frac{1}{2}S_{22e}+\frac{1}{2}S_{22o}=\frac{0}{2}+\frac{0}{2}=0 \end{eqnarray*}

となります。また、回路の対称性から、

    \begin{eqnarray*} S_{33}&=&S_{22}=0 \\ S_{44}&=&S_{11}=0 \end{eqnarray*}

となります。よって、ポートは全てマッチングが取れています。

次に透過係数を求めます。ポート2へは、

    \begin{eqnarray*} S_{21} &=& \frac{1}{2}S_{21e}+\frac{1}{2}S_{21o}\\ &=& -\frac{1+j}{2\sqrt{2}}+\frac{1-j}{2\sqrt{2}}\\ &=& \frac{-j}{\sqrt{2}}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\frac{\pi}{2}} \end{eqnarray*}

となります。振幅は1/\sqrt{2}倍になるので、電力として1/2が出力されます。また、位相は\pi/2、すなわち、90^\circ遅れます。

ポート3へは、

    \begin{eqnarray*} S_{31} &=& \frac{1}{2}S_{21e}-\frac{1}{2}S_{21o}\\ &=& -\frac{1+j}{2\sqrt{2}}-\frac{1-j}{2\sqrt{2}}\\ &=& \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-j\pi} \end{eqnarray*}

となります。やはり、振幅は1/\sqrt{2}倍になるので、電力として1/2が出力されます。また、位相は\pi、すなわち、180^\circ遅れます。よって、ポート2との位相差は90^\circになります。

ポート4へは、

    $$ S_{41} = \frac{1}{2}S_{11e}-\frac{1}{2}S_{11o}= \frac{0}{2}+\frac{0}{2}=0 $$

となるので、出力はされず、アイソレートポートとなります。

まとめ

ブランチライン・カプラは、簡単な構成なのに、動作原理は複雑です。

ポート4がアイソレートポートになることは理論的には理解し、納得できました。しかし、直感的にはポート2との違いが明確でなく、未だに不思議に思えます。

 

 

 

 

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