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電卓でルート(√)キーを押し続けると最後は1になる理由

電卓に適当な数を入れ、√キーをひたすら押して1にしたことはありませんか?理由どうして1になるのでしょうか?方程式で書くと、xの平方根がxと同じなので、$$\sqrt{x}=x$$です。複素数を考えなければ、両辺が正でないと成り立たないので、...
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ダイヤモンド構造の結合角が109.47°であることの導出

ダイヤモンド構造の結合角が109.47°であることを2つの方法で導いてみました。この角度は、正四面体の中心から2つの頂点にそれぞれ向かう線がなす角と同じです。内積を使う方法この方法が一番エレガントです。正四面体の4つの頂点をA、B、C、Dと...
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Cpkは不適合品の発生確率を見積もるための指標です

製品品質を評価する数値の1つとして、不適合品の発生確率があります。このとき、Cpkという指標を使うことがあり、Cpkが1なら不適合発生確率が0.135%、1.33なら0.00317%(31.7ppm)になります。Cpkに対する不適合発生確率...
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畳み込み積分とは何か?その意味をイメージしてみる

畳み込み積分とは、システムにインパルスを入力したときの応答を元に、任意の信号を入力したときの出力を計算する式です。本記事でそのイメージを捉えていただければと思います。畳み込み積分とは時間波形は一般に、インパルス応答や単位ステップ応答(インデ...
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2^iやi^iはどんな数?具体的数値を求めることはできるの?

オイラーの公式によれば、$$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$$となり、θが実数の場合、複素平面上の単位円上のいずれかの点になります。にわかには信じがたいことですが、証明もできます。そうなると、...
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フーリエ級数展開からフーリエ変換の導出

前の記事で、周期関数におけるフーリエ級数について述べました。ここでは非周期関数まで一般化したフーリエ変換について述べます。フーリエ級数の書き換えフーリエ変換は、フーリエ級数から拡張します。まず、フーリエ級数は、次のように表されました。$$f...
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フーリエ級数展開の原理

大学時代、フーリエ展開、フーリエ変換は、天からの啓示でした。訳が分からないまま、例題を解いて、肌感覚で覚えました。でも、フーリエさんも人間です。おそらく順を追ってこの考えにたどり着いたと思います。本記事は、その経過を想像して書いてみました。
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三角関数の和積・積和公式の簡単な導き方

三角関数の積和・和積の公式は、社会人になってもたまに使うことがあります。学生時代にはテストに向けて、「越します越します明日越す越す」のように語呂合わせをして無理やり覚えました。でも、社会人になってからは時間に追われるわけではないので、記憶を...
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オイラーの公式の導出と三角関数のマクローリン展開のグラフ

マクローリン展開を用いて、オイラーの公式を導きます。さらに、公式中に現れる sin θ と cos θ について、[0, 3π]の範囲で数値的にマクローリン展開した結果も示します。
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マクローリン展開の原理

マクローリン展開高校までの教科書には、公式の導き方が丁寧に載っているのに、大学の教科書に載っている公式には、ほとんど導き方が書いてありません。マクローリン展開もその一つ。大学では「関数は、ここに示してあるマクローリン展開の公式で展開すること...