特性インピーダンスの不連続点で生じる反射について

ある特性インピーダンスの伝送線路を伝わっている電磁波が、異なるインピーダンスの領域に達すると、その不連続点で反射が起こります。電圧と電流の辻褄を合わせるためです。

インピーダンス不連続点における反射の具体例
反射係数
まとめ

インピーダンス不連続点における反射の具体例

高速信号や高周波信号は、特性インピーダンスが一定の線路を用いて伝送します。
ところが、意図せず、又は意図的に、異なるインピーダンスが接続される場合があります。

伝送線路の不連続点

図は、特性インピーダンスZ₀の線路に、特性インピーダンスがZ_Lの線路が接続される例です。Z_Lは、伝送線路に限ることはなく、抵抗などの素子でも構いません。

このとき、どんなことが起こるでしょうか？

まず、特性インピーダンスがZ₀のところを伝送していた信号の電圧がV₁、電流がI₁だったとします。直流でも交流でも構いませんが、どちらかといえば、直流の方がイメージしやすいと思います。このとき、 $V_{1}/I_{1}=Z_{0}$ です。別に問題ありませんよね？

ここで、信号がZ_Lとの境に達したとします。電圧はZ₀の領域とZ_Lの領域で、連続である必要があります。また、電流の一部がどこかに消え去ったり、増えたりすることもできません。
素直に考えると、 $V_{1}/I_{1}=Z_{0}\neq Z_{L}$ です。このままでは信号がZ_Lの領域に入り込むことができません。

でも、現実的にはZ_Lの領域にも信号は伝わります。
この現象をどのように考えたらよいのでしょうか？

反射

ここで登場するのが、反射です。
伝送線路Z₀を逆向きに戻る信号V₃、I₃が発生するのです。
これにより、Z_Lの領域中に信号V₂、I₂が入っていくことができます。

では、ここで、具体的な値として、 $Z_{0}=50\left[\Omega\right]$ 、 $Z_{L}=75\left[\Omega\right]$ を用いて考えてみましょう。

まず、信号１、２、３は、特性インピーダンスがそれぞれ50 Ω、75 Ω、50 Ωの線路を伝わるのですから

$\begin{eqnarray*} V_{1} &=& 50I_{1} \\ V_{2} &=& 75I_{2} \\ V_{3} &=& 50I_{3} \end{eqnarray*}$

です。
次に、重ね合わせにより、V₁とV₃を加えるとV₂になるので、

$V_{1}+V_{3}=V_{2}$

です。すなわち、

$\begin{eqnarray*} 50I_{1}+50I_{3} &=& 75I_{2} \\ \therefore 2I_{1}+2I_{3} &=& 3I_{2}~~~\eq(1) \end{eqnarray*}$

です。また、I₁からI₃を引くとI₂になるので、

$\begin{align*} I_{1}-I_{3}=I_{2}~~~\eq(2) \end{align*}$

です。
(1)と(2)を連立させて解くと、

$\begin{eqnarray*} I_{2} &=& \frac{4I_{1}}{5} \\ I_{3} &=& \frac{I_{1}}{5} \end{eqnarray*}$

となり、これから電圧を求めると、

$\begin{eqnarray*} V_{2} &=& \frac{6V_{1}}{5} \\ V_{3} &=& \frac{V_{1}}{5} \end{eqnarray*}$

となります。

ここで、具体的な値として、 $V_{1}=50\left[V\right]$ 、 $I_{1}=1\left[A\right]$ とすると、 $V_{2}=60\left[V\right]$ 、 $I_{2}=0.8\left[A\right]$ 、 $V_{3}=10\left[V\right]$ 、 $I_{2}=0.2\left[A\right]$ となります。

ちなみに、送信電力 $V_{1}I_{1}=50\cdot1=50\left[W\right]$ に対し、透過した電力は $V_{2}I_{2}=60\cdot0.8=48\left[W\right]$ 、反射した電力は $V_{3}I_{3}=10\cdot0.2=2\left[W\right]$ なので、当然ながらエネルギー保存則も満たしています。

反射係数

反射係数を求める

ここで、具体的数字をいったん忘れて、Z₀ やZ_Lの式に戻ります。すなわち、

$\begin{eqnarray*} V_{1} &=& Z_{0}I_{1} \\ V_{2} &=& Z_{L}I_{2} \\ V_{3} &=& Z_{0}I_{3} \\ V_{1}+V_{3} &=& V_{2} ~~~\eq(3)\\ I_{1}-I_{3} &=& I_{2} ~~~\eq(4) \end{eqnarray*}$

です。ここから、V₃とV₁ の比を考えることとします。つまり、入力電圧を与えたときにどの程度の反射が返ってくるかを調べます。

まず、(4)のIをVで置き換えると、

$\begin{eqnarray*} \frac{V_{1}}{Z_{0}}-\frac{V_{3}}{Z_{0}} &=& \frac{V_{2}}{Z_{L}} \\ \therefore {Z_{L}}{V_{1}}-{Z_{L}}{V_{3}} &=& {Z_{0}}{V_{2}}~~~\eq(5) \end{eqnarray*}$

となります。また、(3)の両辺にZ₀を乗じると、

${Z_{0}}{V_{1}}+{Z_{0}}{V_{3}} = {Z_{0}}{V_{2}}~~~\eq(6)$

となるので、(5)と(6)の差を取ると、

$\begin{eqnarray*} \left({Z_{L}}-{Z_{0}}\right){V_{1}}+\left({Z_{L}}+{Z_{0}}\right){V_{3}} = 0 \\ \therefore \frac{V_{3}}{V_{1}}=\frac{{Z_{L}}-{Z_{0}}}{{Z_{L}}+{Z_{0}}} \end{eqnarray*}$

となります。最後に求まった入出力の電圧比を反射係数といいます。この式は、抵抗成分だけでなく、リアクタンス分が入っていても成り立ちます。

反射係数は、普通、Γ（ガンマ）で表されます。また、高周波分野でよく使われる散乱パラメータS_ijにおいて、i = jの場合も反射係数です。

反射係数の式は大切で、高周波回路を扱う場合、覚える必要がある式なので、もう一度書いておきます。

$\Gamma=\frac{{Z_{L}}-{Z_{0}}}{{Z_{L}}+{Z_{0}}}$

反射係数からインピーダンスZLを求める

反射係数からインピーダンスZ_Lを求めることもできます。

反射係数の式から、

$\begin{eqnarray*} \Gamma Z_{L}+\Gamma Z_{0} &=& Z_{L}-Z_{0} \\ \therefore \left(\Gamma -1\right)Z_{L} &=& -\left(1+\Gamma\right)Z_{0} \\ \therefore Z_{L} &=& \frac{1+\Gamma}{1-\Gamma}Z_{0} \end{eqnarray*}$