連分数って面白い！ある数とその逆数の少数部が一致する数が見つかる！

ある数とその逆数の少数部が一致する数について
これらの数を見つけた経緯
連分数展開の収束の速さ
ベンフォードの法則との比較
まとめ

ある数とその逆数の少数部が一致する数について

黄金比率（ $\left(1+\sqrt{5}\right)/2=1.618034\cdots$ ）とその逆数（ $2/\left(1+\sqrt{5}\right)=0.618034\cdots$ ）の小数部分が同じであることは有名な話です。

Excelで連分数展開しているうちに、そのような数がたくさん見つかりました。

例えば、

$\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{2} &=& 2.414213562\cdots \\ \frac{1}{1+\sqrt{2}} &=& 0.414213562\cdots \end{eqnarray*}$

ですし、

$\begin{eqnarray*} \frac{7+\sqrt{53}}{2}=7.140054945\cdots \\ \frac{2}{7+\sqrt{53}}=0.140054945\cdots \end{eqnarray*}$

です。

実は、

$\frac{n\pm\sqrt{n^2+4}}{2}$

の場合はそうなります。ただし、nは整数で、n=1の場合は黄金比率です

これらの数を見つけた経緯

黄金比率を連分数展開すると、

$\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\left[1;\overline{1}\right]$

と、１が続きます。ただし、上線は循環を示すこととします。
このように、同じ数字が続くところがミソですね。

そこで、同様な数字があるか、自然数の平方根の連分数を順に求めてみました。
すると、

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2} &=& \left[1;\overline{2}\right] \\ \sqrt{5} &=& \left[2;\overline{4}\right] \\ \sqrt{10} &=& \left[3;\overline{6}\right] \\ \sqrt{17} &=& \left[4;\overline{8}\right] \\ \sqrt{26} &=& \left[5;\overline{10}\right] \\ &\cdots& \end{eqnarray*}$

のように、同じ数が続く展開が得られました。

右辺は明らかに規則性があります。
左辺の規則性は、初めは分かりませんでした。しかし、しばらくながめていたら、m²+1（1²+1, 2²+1, …）ということに気づきました

一般化すると、mを自然数として、

$\sqrt{m^2+1}=\left[m;\overline{2 m}\right]$

となります。

ここで、左辺にmを加えた数の連分数を考えると、

$m+\sqrt{m^2+1}=\left[2 m;\overline{2 m}\right]$

となります。

よって、左辺を整数部と少数部に分けると、

$m+\sqrt{m^{2}+1}=2 m+\left(\sqrt{m^{2}+1}-m\right)$

となり、左辺を１回連分数展開すると、

$m+\sqrt{m^{2}+1}=2 m+\frac{1}{m+\sqrt{m^{2}+1}}$

となります。右辺同士を比較すると、

$\sqrt{m^{2}+1}-m=\frac{1}{m+\sqrt{m^{2}+1}}$

となるので、 $m+\sqrt{m^{2}+1}$ の少数部は逆数と等しいことになります。

でも、これだけだと不満です。

連分数展開をしたときに、黄金比率を別にすれば、連続する同じ数は偶数ばかりです。
きっと、連分数が奇数の連続になる場合もあるはずです。

そこで、攻め方を変えます。
ある数xについて、奇数の整数部nと小数点以下の数をdとして、

$x=\left[n;\overline{n}\right]$

となるような連分数があるとします。すると、

$\begin{eqnarray*} x &=& n+d\\ &=& n+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

となるので、左辺と最後の右辺をx倍すると、

$\begin{align*} x^2=n x+1 \\ \therefore x=\frac{n\pm\sqrt{n^{2}+4}}{2} \end{align*}$

となります。

ここでは、nとして奇数を考えましたが、偶数でも負の数でも同様に成り立ちます。
結局、連分数を使わなくても解が得られました。

連分数展開の収束の速さ

連分数展開の収束の速さも気になるところです。

日食や月食の周期を調べたときに、

(食年E)/(交点月D) = 12.737660 = [12; 1, 2, 1, 4, 3, 5, 1, …]、
(食年E)/(近点月A) = 12.579411 = [12; 1, 1, 2, 1, 1, 1, 5, …]、
(食年E)/(朔望月S) = 11.737661 = [11; 1, 2, 1, 4, 3, 5, 1,…]

という連分数展開を得ているので、これを用いて収束の速さをグラフにしてみます。

連分数展開の収束速度

縦軸は誤差の絶対値を対数表示しました。

これを見ると、一段展開するごとに精度がほぼ一桁ずつ高くなっています。

連分数は１桁ずつ得られることが多いですし、この桁数を有効数字として考えると妥当なところだと思います。

ベンフォードの法則との比較

前節の結果を見ると、連分数展開して得られる結果は、１の割合が多いです。また、６、７、８、９の数字は出てきていません。

数値の最初の桁に１が出る確率が多く、次いで、２、３、…、９の順になるという法則をベンフォードの法則と言います。

ベンフォードの法則によれば、最初の桁の数値をdとしたとき、dの出現する確率は、

$P\left(d\right)=\log\left(d+1\right)-\log\left(d\right)$

となります。

例を挙げましょう。

自然界では、得てして指数関数が出現することが多いです。例えば、細胞は倍々で分裂します。すなわち、

１、２、４、８、16、32、64、128、256、512、…

のように増えていきます。

この10個の数字において、最初の桁に1が出現する回数は3回、2は2回、3は1回、4は1回、5は1回、6は1回、7は0回、8は1回、9は0回です。つまり、1、2の出現回数は多く、8、9は少ないということが分かります。数をもっと集めればさらに明確になります。

次に、連分数展開の場合を考えてみます。

整数部を除いた後の小数部を $x \ \left(0<x<1\right)$ とし、その逆数を考えたとき、 $1/10<x\leq1/9$ なら連分数の最初の桁が9、 $1/8<x\leq1/7$ なら8、…、 $1/2<x<1$ なら1です。
また、 $1/100<x\le1/10$ において、 $1/100<x\leq1/90$ なら9、 $1/80<x\leq1/70$ なら8、…、 $1/20<x\leq1/10$ なら1です。以下、同様に考えると等比級数の和の公式が使えて、1の出る確率は、 $\left(1-1/2\right)\left(10/9\right)=5/9$ のように求められます。