1.5 bitパイプライン型ADCのExcelによる動作原理シミュレーション

1.5 bitパイプライン型ADC（analog to digital converter、アナログ・デジタル変換器）の動作原理って理解できますか？
僕は、頭の中だけでは理解できなかったので、Excelを用いて動作をシミュレーションしてみました。

1.5 bitパイプライン型ADCの１段分の構成
Excelによる動作シミュレーション

1.5 bitパイプライン型ADCの１段分の構成

図１：パイプライン型ADCの一段分

パイプライン型ADCは、多段構成です。
各段は、T/H（トラックホールド）回路、ADC、DAC（digital to analog converter）、アナログ加算器、2倍のアンプから構成されます。

入力のレベルは説明の都合上、-1～1とします。ただし、回路のオフセットやゲインを調節すれば、自由に設定できます。

T/H回路は、一段の処理が終わるまでの間、入力値を保持します。

ADCは、アナログ値をデジタル変換します。1.5 bitパイプライン型では、00、01、10の３値のデジタル出力が出ます。ただし、後述のように、切り換わりの閾値が特別です。

DACはデジタル値をアナログ値に変換します。00、01、10のデジタル値はそれぞれ-0.5、0、0.5のアナログ値を出力します。

〇印の付近に＋と－が示されている箇所はアナログ加算器です。DAC出力は、負の値にしてから加算するので、結果として、T/H回路出力とDAC出力の差信号を出力します。

２倍のアンプは加算器の出力を２倍します。

Excelによる動作シミュレーション

１段目のシミュレーション

早速、Excelによる動作シミュレーションをしてみます。

図２：Excelシート（クリックで拡大します）

先ず、タイトルを入力します。A1～G1に、それぞれ「分割数」「入力」「TH出力1」「ADC出力1」「DAC出力1」「加算器出力1」「アンプ出力1」と入力してください。カラム名の最後に付いている「1」という数は、１段目を示しています。

次にA2セルに64とでも打ちましょう。これは、0～1のアナログ入力を分割する数です。値を大きくすれば、グラフがきれいに描けます。64という値は、２段分の動作が理解できる程度の最低限の分解能といった値です。必要に応じて増やしてください。

この分割数に「n」という名前を付けましょう。
A2セルを選ぶと、左上に「A2」と表示している欄があると思います。これに「n」と入力してEnterを打ってみましょう。これで、A2セルに入っている値を「n」として扱うことができるようになりました。

続いて、B2の欄に「=(ROW()-2-n)/n」と入力してEneterを打ちましょう。値が「-1」になったでしょうか？改めてB2セルを選択すると、セルの右下が、小さな■になっていると思います。それを130行までドラッグしてください。そうすると、B2セルがコピーされることにより、-1～1の数列ができると思います。

B列にも名前を付けます。
セルの上で、A、B、C、…と表示されているところの「B」を選ぶとB列全体が選択されます。このとき、左上の欄には「B1」と表示されていると思います。ここに「入力」とタイプしてEnterを押します。すると、B列全体が「入力」という名前になります。

次に、C列に移ります。C列は、T/H回路の出力であり、入力と同じ値となります。
わざわざこの列を作らなくても構いませんが、グラフを描くときに便利です。
C2の欄に「=入力」と入力してEnterを打ちましょう。値が「-1」になったでしょうか？改めてC2セルを選択すると、セルの右下が、小さな■になっていると思います。その■をダブルクリックしてください。そうすると、C2セルの内容がC130までコピーされ、-1～1の数列ができます。B列と同様の手順により、C列全体には、TH出力1という名前を付けてください。

図３：TH出力1

D列はADCの出力です。このADCは、閾値が特別です。定義域を８等分して、左から３つ分が00、中２つ分が01、右３つ分が10になります。今、定義域が-1～1ですから、8等分すると1つ分は0.25です。したがって、-1～-0.25が00、-0.25～0.25が01、0.25～1が10となります。

これを数式で示すと、「=IF(TH出力1<=-0.25,”00″,IF(TH出力1<0.25,”01″,”10″))」となります。今は、動作の概要を知りたいだけなので、不等号は適当に付けています。厳密性を追求したい場合は各自でお考え下さい。
この式をD2からD130まで入力し、D列全体に「ADC出力1」と名前を付けてください。

図４：ADC出力1およびDAC出力1

E列は、ADC出力をDA変換した結果です。前述のように、00、01、10のデジタル入力に対するアナログ出力は、それぞれ-0.5、0、0.5です。
これを数式で示すと「=IF(ADC出力1=”00″,-0.5,IF(ADC出力1=”01″,0,0.5))」となります。この式をE2からE130までコピーして、E列全体に「DAC出力1」と名前を付けてください。

F列は加算器の出力です。TH出力と負号を付けたDAC出力を加算します。つまり、差になります。式は「=TH出力1-DAC出力1」となります。これもF2からF130までコピーして、F列全体に「加算器出力1」と名前を付けてください。

図５：加算器出力1

G列は２倍アンプの出力です。加算器出力１の値を２倍するので、式は「=加算器出力1*2」となります。これもG2からG130までコピーして、G列全体に「アンプ出力1」と名前を付けてください。

図６：アンプ出力1

よく見かけるグラフになってきました。

２段目のシミュレーション

図３に示した-1～1の単調増加のT/H出力が、図６に示すアンプ出力1になりました。
２段目は、このアンプ出力1を入力として考えます。

全体を一度に考える前に、先ずは３領域に分割して概形を考えてみましょう。すなわち、アンプ出力1が-1～0.5の領域（入力としては-1～-0.25）、-0.5～0.5の領域（同-0.25～0.25）、-0.5～1の領域（同0.25～1）に分割してみます。

アンプ出力1が-1～0.5の領域だけ抜き出してみると、

図７；アンプ出力1が-1～0.5に対するアンプ出力2

となります。つづいて、-0.5～0.5だけ抜き出してみると、

図８：アンプ出力1が-0.5～0.5に対するアンプ出力2

となります。最後に、-0.5～1を抜き出してみると、

図９：アンプ出力1が-0.5～1に対するアンプ出力2

となります。

第２段目の出力は、これを横につなぎ合わせた形になるので、-1から増加し、-0.5と0.5の間で行き来を繰り返し、最後が1になって終わることが分かります。

では、第２段目について、Excelシートを作っていきましょう。

まず、C1:G2の領域をコピーします。次に、H1セルを選択し、ペーストします。
さらに、1行目のタイトルに含まれている1の文字を2に変更します。すなわち、H1からL1のセルの値を「TH出力2」「ADC出力2」「DAC出力2」「加算器出力2」「アンプ出力2」とします。

次いで、H列からL列のそれぞれに、今変更した名前を付けます。

さらに、Hを「=アンプ出力1」に変更し、I2からL2は、式中の名前の1を2に変更します。すなわち、順に「=IF(TH出力2<=-0.25,”00″,IF(TH出力2<0.25,”01″,”10″))」「=IF(ADC出力2=”00″,-0.5,IF(ADC出力2=”01″,0,0.5))」「=TH出力2-DAC出力2」「=加算器出力2*2」とします。最後に、H2:L2を選択し、L2セルの右下の■をダブルクリックすると、L130まで値が入ります。

図10：アンプ出力2

入力を横軸に、アンプ出力2を縦軸にしてグラフを描くと図10になります。

さて、図10の下部に、１段目のADC出力を黒字で示しました。また、２段目のADC出力を青字で示しました。

ここで、１段目のMSB（Most Significant Bit、最上位ビット）を2²の位、１段目のLSBと２段目のMSBを2¹の位、3段目のLSBを2⁰の位と見なします。すると、表１に示すように、3 bitのADC出力が得られます。

出力が010と100については、それぞれ２通りの組み合わせがあります。ただ、図10を見ると、それらの組み合わせの幅は、他の組み合わせの幅に対して1/2であり、１つのコードに対するアナログ入力の幅は均等ということが分かります。ただし、000と110については、例外で1.5倍の幅になります。また、このため、111というコードが発生する余地がありません。