三角関数の和積・積和公式の簡単な導き方

三角関数の積和･和積の公式は、社会人になってもたまに使うことがあります。
学生時代にはテストに向けて、「越します越します明日越す越す」のように語呂合わせをして無理やり覚えました。でも、社会人になってからは時間に追われるわけではないので、記憶をしないで、都度導いています。

積和･和積の公式を導くには、加法定理を正確に知っている必要があります。でも、僕は、これを覚えることが苦手でした。ここでは加法定理の導き方を２通り示しておきますので、使いやすい方をお使いください。

行列を使った三角関数の加法定理の導き方
オイラーの公式を使った三角関数の加法定理の導き方
三角関数の加法公式から積和の公式を導く
積和の公式から和積の公式を導く
おまけ：原点の周りにθだけ回転させるときの行列式の導き方

行列を使った三角関数の加法定理の導き方

後述のオイラーの公式を使う方法より、行列を使う方法が僕には簡単に思えます。

まず、原点の周りに $\theta$ だけ回転させるときの行列式 $R\left(\theta\right)$ は、

$R\left(\theta\right)= \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$

です。（これを忘れてしまった場合でも、大丈夫。末尾に導き方を示しました。）
よって、 $\theta_{1}+\theta_{2}$ だけ回した結果を考えると、初めに $\theta_{2}$ 回し、次に $\theta_{1}$ だけ回した結果と同じなので、

$R\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)=R\left(\theta_{1}\right)R\left(\theta_{2}\right)$

よって、

$\begin{bmatrix}\cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) & -\sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) \\ \sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) & \cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \theta_{1} & -\sin \theta_{1} \\ \sin \theta_{1} & \cos \theta_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos \theta_{2} & -\sin \theta_{2} \\ \sin \theta_{2} & \cos \theta_{2} \end{bmatrix}$

です。
よって、 $R\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)_{11}$ 、 $R\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)_{21}$ を計算すると、

(1) $\begin{equation*} \cos\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2} \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \sin\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)=\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2} \end{equation*}$

となります。(1)、(2)で $\theta_2$ の代わりに $-\theta_2$ とおくと

(3) $\begin{equation*} \cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2} \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}\end{equation*}$

となります。

オイラーの公式を使った三角関数の加法定理の導き方

オイラーの公式は、

$e^{i\theta}=\cos\theta+i \sin\theta$

です。

ところで、

$e^{i\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}=e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}}$

なので、

$\begin{eqnarray*} \cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)&=&\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)\left(\cos\theta_2+i\sin\theta_2\right)\\ &=&\left(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\right)+i\left(\cos\theta_1\sin\theta_2+\sin\theta_1\cos\theta_2\right) \end{eqnarray*}$

となります。よって、実部だけ考えると（１）と同じ、虚部だけ考えると（２）と同じになります。

三角関数の加法公式から積和の公式を導く

(1)＋(3)から、

$\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+\cos\left(\theta_1-\theta_2\right)=2\cos\theta_1\cos\theta_2$

よって、

(5) $\begin{equation*} \cos\theta_1\cos\theta_2=\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+\cos\left(\theta_1-\theta_2\right)\right\} \end{equation*}$

となります。同様に、(3)－(1)から

(6) $\begin{equation*} \sin\theta_1\sin\theta_2=-\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)-\cos\left(\theta_1-\theta_2\right)\right\ \end{equation*}$

(2)＋(4)から

(7) $\begin{equation*} \sin\theta_1\cos\theta_2=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)+\sin\left(\theta_1-\theta_2\right)\right\} \end{equation*}$

(2)－(4)から

(8) $\begin{equation*} \cos\theta_1\sin\theta_2=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)-\sin\left(\theta_1-\theta_2\right)\right\} \end{equation*}$

となります。

積和の公式から和積の公式を導く

(9) $\begin{equation*} \theta_1+\theta_2=A \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \theta_1-\theta_2=B \end{equation*}$

とおくと、 $\left((9)+(10)\right)\div 2$ から、

(11) $\begin{equation*} \theta_1=\frac{A+B}{2} \end{equation*}$

$\left((9)-(10)\right)\div 2$ から、

(12) $\begin{equation*} \theta_2=\frac{A-B}{2} \end{equation*}$

となります。よって(5)の $\theta_1$ 、 $\theta_2$ を $A$ 、 $B$ で置き換えて、

$\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\left\{\cos A+\cos B\right\}$

すなわち、

$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

です。同様に、(6)、(7)、(8)も $A$ 、 $B$ で表すことにより、

$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

$\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$

となります。

おまけ：原点の周りにθだけ回転させるときの行列式の導き方

ベクトル $\left(1,\,0\right)$ を原点の周りに $\theta$ だけ回転させたとすると、 $\left(\cos\theta,\,\sin\theta\right)$ となります。
また、ベクトル $\left(0,\,1\right)$ を原点の周りに $\theta$ だけ回転させたとすると、 $\left(-\sin\theta,\,\cos\theta\right)$ となります。

原点の周りに回転させることを示す行列を

$R\left(\theta\right)=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}$

とおいて、先ほどの $\left(1,\,0\right)$ 及び $\left(0,\,1\right)$ の回転を行列式で表すと、

$R\left(\theta\right)\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$