三角関数の和積・積和公式の簡単な導き方

三角関数の積和・和積の公式は、社会人になってもたまに使うことがあります。
学生時代にはテストに向けて、「越します越します明日越す越す」のように語呂合わせをして無理やり覚えました。でも、社会人になってからは時間に追われるわけではないので、記憶をしないで、都度導いています。

積和・和積の公式を導くには、加法定理を正確に知っている必要があります。でも、僕は、これを覚えることが苦手でした。ここでは加法定理の導き方を2通り示しておきますので、使いやすい方をお使いください。

 

 行列を使った三角関数の加法定理の導き方

後述のオイラーの公式を使う方法より、この行列を使う方法が僕には簡単に思えます。

まず、原点の周りに\thetaだけ回転させるときの行列式R\left(\theta\right)は、

    $$ R\left(\theta\right)= \begin{bmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$

です。(これを忘れてしまった場合でも、大丈夫。末尾に導き方を示しました。)
よって、\theta_{1}+\theta_{2}だけ回した結果を考えると、初めに\theta_{2}回し、次に\theta_{1}だけ回した結果と同じなので、

    $$ R\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)=R\left(\theta_{1}\right)R\left(\theta_{2}\right) $$

よって、

    $$ \begin{bmatrix}\cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) & -\sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) \\ \sin \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) & \cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos \theta_{1} & -\sin \theta_{1} \\ \sin \theta_{1} & \cos \theta_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos \theta_{2} & -\sin \theta_{2} \\ \sin \theta_{2} & \cos \theta_{2} \end{bmatrix} $$

です。
よって、R\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)_{11}R\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)_{21}を計算すると、

(1)   \begin{equation*} \cos\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2} \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} \sin\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)=\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2} \end{equation*}

となります。(1)、(2)で\theta_2の代わりに-\theta_2とおくと

(3)   \begin{equation*} \cos\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}+\sin\theta_{1}\sin\theta_{2} \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} \sin\left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)=\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}-\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}\end{equation*}

となります。

オイラーの公式を使った三角関数の加法定理の導き方

オイラーの公式は、

    $$ e^{i\theta}=\cos\theta+i \sin\theta $$

です。

ところで、

    $$e^{i\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}=e^{i\theta_{1}}e^{i\theta_{2}} $$

なので、

    \begin{eqnarray*} \cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+i\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)&=&\left(\cos\theta_1+i\sin\theta_1\right)\left(\cos\theta_2+i\sin\theta_2\right)\\ &=&\left(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\right)+i\left(\cos\theta_1\sin\theta_2+\sin\theta_1\cos\theta_2\right) \end{eqnarray*}

となります。よって、実部だけ考えると(1)と同じ、虚部だけ考えると(2)と同じになります。

三角関数の加法公式から積和の公式を導く

(1)+(3)から、

    $$\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+\cos\left(\theta_1-\theta_2\right)=2\cos\theta_1\cos\theta_2$$

よって、

(5)   \begin{equation*} \cos\theta_1\cos\theta_2=\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)+\cos\left(\theta_1-\theta_2\right)\right\} \end{equation*}

となります。同様に、(3)-(1)から

(6)   \begin{equation*} \sin\theta_1\sin\theta_2=-\frac{1}{2}\left\{\cos\left(\theta_1+\theta_2\right)-\cos\left(\theta_1-\theta_2\right)\right\ \end{equation*}

(2)+(4)から

(7)   \begin{equation*} \sin\theta_1\cos\theta_2=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)+\sin\left(\theta_1-\theta_2\right)\right\} \end{equation*}

(2)-(4)から

(8)   \begin{equation*} \cos\theta_1\sin\theta_2=\frac{1}{2}\left\{\sin\left(\theta_1+\theta_2\right)-\sin\left(\theta_1-\theta_2\right)\right\} \end{equation*}

となります。

積和の公式から和積の公式を導く

(9)   \begin{equation*} \theta_1+\theta_2=A \end{equation*}

(10)   \begin{equation*} \theta_1-\theta_2=B \end{equation*}

とおくと、\left((9)+(10)\right)\div 2から、

(11)   \begin{equation*} \theta_1=\frac{A+B}{2} \end{equation*}

\left((9)-(10)\right)\div 2から、

(12)   \begin{equation*} \theta_2=\frac{A-B}{2} \end{equation*}

となります。よって(5)の\theta_1\theta_2ABで置き換えて、

    $$ \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}=\frac{1}{2}\left\{\cos A+\cos B\right\} $$

すなわち、

    $$ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $$

です。同様に、(6)、(7)、(8)もABで表すことにより、

    $$ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$

    $$ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $$

    $$ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$

となります。

おまけ:原点の周りにθだけ回転させるときの行列式の導き方

ベクトル\left(1,\,0\right)を原点の周りに\thetaだけ回転させたとすると、\left(\cos\theta,\,\sin\theta\right)となります。
また、ベクトル\left(0,\,1\right)を原点の周りに\thetaだけ回転させたとすると、\left(-\sin\theta,\,\cos\theta\right)となります。

原点の周りに回転させることを示す行列を

    $$ R\left(\theta\right)=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} $$

とおいて、先ほどの\left(1,\,0\right)及び\left(0,\,1\right)の回転を行列式で表すと、

    $$ R\left(\theta\right)\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$

となります。ここで、

    $$ \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \end{bmatrix} $$

は、単位行列だから結局、

    $$ R\left(\theta\right)=\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} $$

です。

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