電卓でルート（√）キーを押し続けると最後は１になる理由

電卓に適当な数を入れ、√キーをひたすら押して１にしたことはありませんか？

理由

どうして１になるのでしょうか？

方程式で書くと、xの平方根がxと同じなので、

$\sqrt{x}=x$

です。複素数を考えなければ、両辺が正でないと成り立たないので、二乗して、

よって、

つまり、

$x=0,\ 1$

ということですね。

１の他に０もあったんだ。確かに０の√は０ですね。

インターネットで検索すると、√は1/2乗なので、

$x^{\left({\frac{1}{2}}\right)^\infty}=x^0=1$

という考えを見かけました。ただし、xは0以外の場合です。

ということは、電卓的には0に対していくら√キーを押しても0なので、0⁰ = 0なんだろうな。
世の中は、0⁰ = 1という考え方も根強そうですけどね。

この議論は深みにはまりそうなので、止めておきます。

実際に電卓をたたくと、０以外の正の数なら、どんな数でも１に収束していきそうに見えます。
０だけが特別なんです。どうして？

微分を使えば厳密に解けそうですが、ここは学校ではないので、点数をもらう必要はありません。グラフを使って、収束をイメージするくらいで満足することにします。

図１：y = √x と y = x のグラフ

図１に y = √x と y = xのグラフをそれぞれ赤と青で示します。
当たり前ですが、不動点である x = 0 と x = 1 は交点になっています。

図２：１への収束

電卓に値を 0.25 と置いたとして話を始めます。
√0.25 = 0.5 ですから、√を一回押すと0.5になるはずです。
これは、グラフで x = 0.25 の黒線を下から辿り、赤い線との交点の y 座標が 0.5 となることに相当します。

次に x を 0.5 として解析します。これは、黒線と赤線の交点 (0.25, 0.5) から水平に線を伸ばせば、青線との交点の x 座標が 0.5 になるので、ここから始めればいいことになります。
これを繰り返すと、階段状に１に近づいていくことが解ります。

逆に、１より大きい場合として、初期値を 1.75 とした場合の軌跡も示しておきます。

０の場合は自明ですね。交点なので、動きようがないです。
でも、０より少しでも大きい値になると、赤い線はその上にあるので、結局１に収束します。

これで、不動点が０と１である理由がイメージできました。

関数電卓なら複素数のルートも計算できるのでしょうか？
その点を調べるつもりは無いので良く分かりませんが、ここでは思考実験をしてみます。

複素数 x を定義してみます。

でも、この直交座標だと√を計算しにくいですね。なので、極座標表示にします。

$x=Ae^{i\phi}$

変換方法は示さなくてもいいですよね？

√を取ります。

$\sqrt{x}=\sqrt{Ae^{i\phi}}=A^{1/2}\left(e^{i\phi}\right)^{1/2}=A^{1/2}e^{i\phi/2}$

これで解りましたね。
A^1/2は、上述したように A = 0 ならずっと 0 ですし、A≠0 であれば 1 に収束します。

では、偏角はどうでしょうか？
φ/2ですので、繰り返せば 0 に収束します。つまり、

$\lim_{n \rightarrow \infty}e^{\phi\left(\frac{1}{2}\right)^{n}}=e^0=1$

となります。つまり、振幅条件と偏角条件を掛け合わせて、1×1 = 1 となります。

図３：複素数の√が (1, 0) に収束するイメージ

複素数で、１に収束するときの様子を図３に示しておきます。
結構な速さで収束しますね。

電卓の√キーを押し続けると０または１に収束することをグラフで可視化しました。
複素数であっても√キーを押し続ければ、０または１に収束することも示しました。

リンク