アンプを多段接続したときの NF(Noise Figure)を導出してみよう

NF(Noise Figure、雑音指数)って何?

この値が小さくて1に近ければ、増幅するときに雑音の比率が増えないので、良いアンプということが分かる指数です。

より具体的に示してみましょう。

NF(Noise Figure)説明図

図1

今、図1に示すように、ゲインがGのアンプがあり、入力信号と入力雑音の電力をそれぞれS_iN_i、出力信号と出力雑音の電力をそれぞれS_oN_oとすると、雑音指数NFは以下で表されます。

    $$ NF=\frac{S_i / N_i}{S_o / N_o} $$

これを書き換えると、

    \begin{eqnarray*} N_o &=& NF \cdot \frac{S_o}{S_i} \cdot N_i \\ &=& NF \cdot G \cdot N_i \\ &=& (NF-1)G N_i + G N_i \end{eqnarray*}

となります。

ここで、第2項目は、N_iという雑音がGという電力ゲイン倍されて、N_oという雑音電力になったということで、理解できます。

では、第1項目は何でしょう?
このアンプを通ることによって、増えた雑音電力ということは解ります。
でも、入力の雑音によってこの値が変化するんですか?おそらくそうではないですね。
回路内の熱雑音が影響して発生する雑音だと思います。

そうすると、第1項目にN_iを使うことは実際問題としては正しくなくて、これを熱雑音電力k_{B}Tに置き換えてよいのではないでしょうか?(ここで、k_{B} [J/K]はボルツマン定数、T[K]は絶対温度です)

改めて式を書くと、

    $$ N_o = (NF-1)G k_{B} T+ G N_i \eqno(1)$$

となります。このブロック図を図2に示します。

入力換算雑音

図2

ここで、図2を初段だと考えると、N_ik_{B} Tとなます。アンプに入る入力は和を取ってk_{B} T \cdot NFとなり、それがゲインG倍されて、出力N_oになります。感覚的に、このブロックで合っていそうです。

アンプを多段接続した時のNF

アンプを多段接続します。
この系全体のNFがよくわからないんですよね。

図3

先ず、(1)を用いて、終段のN_nを表してみます。

    \begin{eqnarray*} N_n &&= \left({NF}_n - 1 \right) G_n k_{B} T + G_{n} N_{n-1} \\ &&= \left({NF}_n - 1 \right) G_n k_{B} T + \left({NF}_{n-1} - 1 \right) G_{n} G_{n-1} k_{B} T + \cdots \\ &&+ \left({NF}_{1} - 1 \right) G_{n} G_{n-1} \cdots G_{1} k_{B} T \\ &&+ G_{n} G_{n-1} \cdots G_{1} N_0 \qquad \eqno(2) \end{eqnarray*}

ここで、全体のNFは、全体のゲインをG \left( = G_{n} G_{n-1} \cdots G_{1} \right)として、

    $$ NF = \frac{N_n}{G \cdot N_0} $$

となりますので、(2)の項を逆順にして代入します。ここで、初段の雑音がN_0 = k_B Tであることに注意すると、

    \begin{eqnarray*} NF &=& \frac{1}{N_0}\left\{ N_0 + \left({NF}_1 - 1 \right) k_B T + \frac{{NF}_2 -1}{G_1} k_B T + \cdots + \frac{{NF}_n -1}{G_1 G_2 \cdots G_{n-1}} k_B T \right\} \\ &=& \frac{1}{k_B T}\left\{ k_B T + \left({NF}_1 - 1 \right) k_B T + \frac{{NF}_2 -1}{G_1} k_B T + \cdots + \frac{{NF}_n -1}{G_1 G_2 \cdots G_{n-1}} k_B T \right\} \\ &=& {NF}_1 + \frac{{NF}_2 -1}{G_1} + \cdots + \frac{{NF}_n -1}{G_1 G_2 \cdots G_{n-1}} \end{eqnarray*}

となります。

式から分かるように、初段のNF_1は全体のNFに直接効くので、低雑音のアンプを選ぶことが重要です。
2段目からのNFは、その前までのゲインで除されるので、影響が少なくなります。

一般的に使われている式が出ましたが、N_ik_{B}Tで置き換えたところが、納得できていません。何か別の考え方をすればスッキリ行くのでしょうか?

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