フーリエ級数展開からフーリエ変換の導出

前の記事で、周期関数におけるフーリエ級数について述べました。ここでは非周期関数まで一般化したフーリエ変換について述べます。

フーリエ級数の書き換え
フーリエ変換へ

フーリエ級数の書き換え

フーリエ変換は、フーリエ級数から拡張します。

まず、フーリエ級数は、次のように表されました。

$f\left(t\right)=a_{0}+\sum_{n=1}^\infty\left\{a_n \cos \left(n\omega_0 t\right)+b_n\sin \left(n\omega_0 t\right) \right\}$

ここで、フーリエ係数は次のようになります。

$\begin{eqnarray*} a_0 &=& \frac{1}{T}\int_0^{T}f\left(t\right)dt \\ a_n &=& \frac{2}{T}\int_0^T f\left(t\right) \cos\left(n\omega_0 t\right)dt \\ b_n &=& \frac{2}{T}\int_0^T f\left(t\right) \sin\left(n\omega_0 t\right)dt \end{eqnarray*}$

ここで、同じ周波数 $n\omega_0 t$ で、余弦波と正弦波をまとめることを考えます。周波数をまとめることで、数学的に扱いやすい $e^{i\theta}{$ という形が得られます。また、 $n$ が負の領域まで広がり、正負の周波数で対称的に美しく扱うことができるようになります。

$\begin{align*} &a_n\cos\left(n\omega_0 t\right)+b_n\sin\left(n\omega_0 t\right) \\ &=\frac{a_n}{2}\cos\left(n\omega_0 t\right)+\frac{b_n}{2}\sin\left(n\omega_0 t\right)+i\left\{\frac{a_n}{2}\sin\left(n\omega_0 t\right)-\frac{b_n}{2}\cos\left(n\omega_0 t\right)\right\} \\ &\ \ +\frac{a_n}{2}\cos\left(-n\omega_0 t\right)-\frac{b_n}{2}\sin\left(-n\omega_0 t\right)+i\left\{\frac{a_n}{2}\sin\left(-n\omega_0 t\right)+\frac{b_n}{2}\cos\left(-n\omega_0 t\right)\right\} \\ &=\frac{1}{2}\left(a_n-ib_n\right)\left\{\cos\left(n\omega_0 t\right)+i\sin\left(n\omega_0 t\right)\right\} \\ &\ \ +\frac{1}{2}\left(a_n+ib_n\right)\left\{\cos\left(-n\omega_0 t\right)+i\sin\left(-n\omega_0 t\right)\right\} \\ &=c_n e^{in\omega_0 t}+c_{-n} e^{i(-n)\omega_0 t} \end{align*}$

ただし、 $c_0=a_0,\ c_{\pm n}=\frac{1}{2}\left(a_n\mp b_n\right)$ です。手を動かしてみると、虚数が相殺される組み合わせの妙が味わえますので、試してみて下さい。

係数 $c_n$ は、 $a_n$ と $b_n$ から求められますが、直接求めることもできます。
その準備として、

$\int_{0}^{T}e^{im \omega_0 t} e^{in \omega_0 t} dt$

を考えてみます。

先ず、 $m\neq -n$ のとき、

$\int_{0}^{T}e^{im \omega_0 t} e^{im \omega_0 t} dt =\int_{0}^{T}e^{i\left(m+n\right) \omega_0 t} dt=0$

です。直交していて、積分値は0になるんですね。次に、 $m= -n$ のとき、

$\int_{0}^{T}e^{im \omega_0 t} e^{im \omega_0 t} dt =\int_{0}^{T}e^{i\left(m-m\right) \omega_0 t} dt =\int_{0}^{T}1 dt=T$

となります。つまり、 $e^{in \omega_0 t}$ に対する係数を得たい場合は、その共役である $e^{-in \omega_0 t}$ をかけて積分し、周期で割れば良いことが判ります。

よって、

$c_n=\frac{1}{T}\int_0^Tf\left(t\right)e^{-in\omega_0 t}dt$

です。

係数が求まったので、フーリエ級数を書き下してみます。

$\begin{align*} f\left(t\right)&=\sum_{n=-\infty}^\infty c_n e^{in\omega_0 t}\\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{T}\int_0^T f\left(\tau\right)e^{-in\omega_0\tau}d\tau\ e^{in\omega_0 t} \\ &=\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{\omega_0}{2\pi}\int_{-T/2}^{T/2}f\left(\tau\right)e^{-in\omega_0\tau}d\tau\ e^{in\omega_0 t} \end{align*}$

現時点では周期関数を考えているので、積分区間を $\left(0,\ T\right]$ から $\left(-T/2,\ T/2\right]$ に変えても変化しないことを利用しました。また、 $1/T=f_0=\omega_0/2\pi$ であることも使っています。

フーリエ変換へ

最後の式において、 $T\rightarrow \infty$ とすると、角周波数 $\omega_0=2\pi/T\rightarrow0$ となるので、右辺を積分に書き換えることができます。すなわち、

$\begin{align*} f\left(t\right) &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(\tau\right)e^{-i\omega\tau}d\tau\ e^{i\omega t}d\omega\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\left\{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(\tau\right)e^{-i\omega\tau}d\tau\right\}e^{i\omega t}d\omega \end{align*}$