RC回路の過渡応答

高速・高周波

RC回路

2022.04.302020.02.29

高周波回路の基本であるRC回路の過渡応答について述べます。

目次

RC回路の過渡応答
おまけ（RCが時間の単位である理由）

RC回路の過渡応答

RC回路

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今、図のような抵抗 $R$ とキャパシタ $C$ からなる回路があったとき、この微分方程式は

$\begin{align*} v &= Ri+\frac{q}{C}　\\ &= R \frac{dq}{dt}+\frac{q}{C} \end{align*}$

で表わされます。

これを解いてみます。
まず、十分に時間が経過した後の状態を示す解、すなわち定常解は、時間変化する項 $dq/dt$ を消して考えればいいので、

$\begin{eqnarray*} v=\frac{q}{C} \\ \therefore q= C v \end{eqnarray*}$

となります。
次に斉次方程式を解いて過渡解を求めます。斉次方程式は $q$ を含んだ項だけを抜き出して、

$R \frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$

です。移項して、 $R$ で両辺を割ると、

$\frac{dq}{dt}= -\frac{q}{RC}$

です。変数分離して積分すると、

$\int \frac{dq}{q}= -\int \frac{dt}{RC}$

なので、

$ln(q)=-\frac{t}{RC}+C_1$

です。ただし、 $C_1$ は積分定数です。
すなわち、

$q=C_2e^{-\frac{t}{RC}}$

となります。ただし、 $C_2=\exp\left(C_1\right)$ です。
よって、過渡解と定常解を合わせると、

$q=C_2e^{-\frac{t}{RC}}+C v$

です。
ここで、境界条件として、 $t=0$ のとき、 $q=0$ とすると、

$\begin{eqnarray*} C_2+Cv &=& 0 \\ \therefore C_2 &= &-Cv \\ \therefore q &=& Cv\left( 1-e^{-\frac{t}{RC}}\right) \end{eqnarray*}$

となります。

回路を設計する際には、キャパシタの両端に発生する電圧を議論することが多いので、この値 $v_C$ を求めると、

$v_C=\frac{q}{C}=\left( 1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)v$

となります。
さらに、 $RC$ は時間の単位となるため、これを $\tau$ と置いて、

$v_C=\left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)v$

という形もよく見かけます。 $\tau$ を時定数と呼びます。時定数が大きいと、過渡に要する時間が長くなります。

おまけ（RCが時間の単位である理由）

抵抗 $R$ のインピーダンスは $R\left[\Omega\right]$ です。
一方、キャパシタ $C$ のインピーダンスは $1/\left(j\omega C\right)\left[\Omega\right]$ です。
よって、 $\omega C$ のディメンションは、 $R\left[\Omega\right]$ の逆数である $\left[S\right]$ （ジーメンス）です。ここで、 $\omega=2\pi f=2\pi/T$ であり、 $\omega$ のディメンションは時間の逆数である $\left[s^{-1}\right]$ です。すなわち、 $C=\omega C/\omega\left[S/s^{-1}\right]$ となり、結局 $RC\left[\Omega S/s^{-1}\right]=RC\left[s\right]$ となるので、時間の単位であることが示せました。

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