RC回路の過渡応答

高周波回路の基本であるRC回路の過渡応答について述べます。

RC回路の過渡応答

RC回路

RC回路

今、図のような抵抗RとキャパシタCからなる回路があったとき、この微分方程式は

    \begin{align*} v &= Ri+\frac{q}{C} \\ &= R \frac{dq}{dt}+\frac{q}{C} \end{align*}

で表わされます。

これを解いてみます。
まず、十分に時間が経過した後の状態を示す解、すなわち定常解は、時間変化する項dq/dtを消して考えればいいので、

    \begin{eqnarray*} v=\frac{q}{C} \\ \therefore q= C v \end{eqnarray*}

となります。
次に斉次方程式を解いて過渡解を求めます。斉次方程式はqを含んだ項だけを抜き出して、

    $$ R \frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0 $$

です。移項して、Rで両辺を割ると、

    $$ \frac{dq}{dt}= -\frac{q}{RC} $$

です。変数分離して積分すると、

    $$ \int \frac{dq}{q}= -\int \frac{dt}{RC} $$

なので、

    $$ ln(q)=-\frac{t}{RC}+C_1 $$

です。ただし、C_1は積分定数です。
すなわち、

    $$ q=C_2e^{-\frac{t}{RC}} $$

となります。ただし、C_2=\exp\left(C_1\right)です。
よって、過渡解と定常解を合わせると、

    $$ q=C_2e^{-\frac{t}{RC}}+C v $$

です。
ここで、境界条件として、t=0のとき、q=0とすると、

    \begin{eqnarray*} C_2+Cv &=& 0 \\ \therefore C_2 &= &-Cv \\ \therefore q &=& Cv\left( 1-e^{-\frac{t}{RC}}\right) \end{eqnarray*}

となります。

回路を設計する際には、キャパシタの両端に発生する電圧を議論することが多いので、この値v_Cを求めると、

    $$ v_C=\frac{q}{C}=\left( 1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)v $$

となります。
さらに、RCは時間の単位となるため、これを\tauと置いて、

    $$ v_C=\left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)v $$

という形もよく見かけます。\tauを時定数と呼びます。時定数が大きいと、過渡に要する時間が長くなります。

おまけ(RCが時間の単位である理由)

抵抗RのインピーダンスはR\left[\Omega\right]です。
一方、キャパシタCのインピーダンスは1/\left(j\omega C\right)\left[\Omega\right]です。
よって、\omega Cのディメンションは、R\left[\Omega\right]の逆数である\left[S\right](ジーメンス)です。ここで、\omega=2\pi f=2\pi/Tであり、\omegaのディメンションは時間の逆数である\left[s^{-1}\right]です。すなわち、C=\omega C/\omega\left[S/s^{-1}\right]となり、結局RC\left[\Omega S/s^{-1}\right]=RC\left[s\right]となるので、時間の単位であることが示せました。

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