RC回路の過渡応答

2020.02.29

高周波回路の基本であるRC回路の過渡応答について述べます。

RC回路の過渡応答

RC回路

RC回路

今、図のような抵抗RとキャパシタCからなる回路があったとき、この微分方程式は

    \begin{align*}v &= Ri+\frac{q}{C}　\\&= R \frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}\end{align*}

で表わされます。

これを解いてみます。
まず、十分に時間が経過した後の状態を示す解、すなわち定常解は、時間変化する項dq/dtを消して考えればいいので、

    \begin{eqnarray*}v=\frac{q}{C} \\\therefore q= C v\end{eqnarray*}

となります。
次に斉次方程式を解いて過渡解を求めます。斉次方程式はqを含んだ項だけを抜き出して、

    $$R \frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=0$$

です。移項して、Rで両辺を割ると、

    $$\frac{dq}{dt}= -\frac{q}{RC}$$

です。変数分離して積分すると、

    $$\int \frac{dq}{q}= -\int \frac{dt}{RC}$$

なので、

    $$ln(q)=-\frac{t}{RC}+C_1$$

です。ただし、C_1は積分定数です。
すなわち、

    $$q=C_2e^{-\frac{t}{RC}}$$

となります。ただし、C_2=\exp\left(C_1\right)です。
よって、過渡解と定常解を合わせると、

    $$q=C_2e^{-\frac{t}{RC}}+C v$$

です。
ここで、境界条件として、t=0のとき、q=0とすると、

    \begin{eqnarray*}C_2+Cv &=& 0 \\\therefore C_2 &= &-Cv \\\therefore q &=& Cv\left( 1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)\end{eqnarray*}

となります。

回路を設計する際には、キャパシタの両端に発生する電圧を議論することが多いので、この値v_Cを求めると、

    $$v_C=\frac{q}{C}=\left( 1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)v$$

となります。
さらに、RCは時間の単位となるため、これを\tauと置いて、

    $$v_C=\left( 1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)v$$

という形もよく見かけます。\tauを時定数と呼びます。時定数が大きいと、過渡に要する時間が長くなります。

おまけ（RCが時間の単位である理由）

抵抗RのインピーダンスはR\left[\Omega\right]です。
一方、キャパシタCのインピーダンスは1/\left(j\omega C\right)\left[\Omega\right]です。
よって、\omega Cのディメンションは、R\left[\Omega\right]の逆数である\left[S\right]（ジーメンス）です。ここで、\omega=2\pi f=2\pi/Tであり、\omegaのディメンションは時間の逆数である\left[s^{-1}\right]です。すなわち、C=\omega C/\omega\left[S/s^{-1}\right]となり、結局RC\left[\Omega S/s^{-1}\right]=RC\left[s\right]となるので、時間の単位であることが示せました。

コメント

タイトルとURLをコピーしました