RC回路の時定数τ、立ち上がり時間Tr、帯域BWの関係

RC回路の時定数τ[s]は、抵抗とキャパシタンスの積であるRCです。
RC回路の立ち上がり時間Tr[s]は、2.2τです。
RC回路の帯域f[Hz]は、0.35/Trです。

本記事は、高速回路でよく用いられる、これらの関係性について述べます。

高速回路でRC回路が用いられることが多い理由

RC回路

RC回路

高速回路でRC回路が用いられることが多い理由は、第1に、インダクタンスが作りにくいためです。
基板上にミアンダ(蛇行)型やスパイラル(うずまき)型のインダクタンスを作ったことがありますが、寄生素子の影響で、周波数的にフラットな特性を得ることができませんでした。よって、高速回路の受動素子としては、抵抗とキャパシタンスが主要な部品となります。

第2に、RC回路が、サンプルホールド回路(又はトラックホールド回路)の基本構成になるためです。サンプルホールド回路は、AD変換器の前で、入力される電圧を一時保持するための回路です。これらの回路はデジタルオシロスコープのフロントエンドを構成するために不可欠です。RC回路の性質を知ることは、高速回路の主要測定器であるオシロスコープを使いこなすための第一歩にもつながります。

RC回路の時定数

キャパシタに電荷が溜まっていない状態から、t=0でSWを投入したときのRC回路の過渡応答は、前の記事で、

    \begin{align*} v_o&=\left(1-e^{-\frac{t}{RC}}\right)v_i \\ &=\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)v_i ~~~\eqno(1) \end{align*}

であることを示しました。

RC(=τ)は時間の次元を持ち、時定数と呼ばれます。時定数が大きくなると過渡に要する時間が大きくなります。

RC回路の立ち上がり時間

立ち上がり時間とは、定常状態の電圧値をVとしたとき、0.1Vから0.9Vになるのに要する時間です。
RC回路の場合、式(1)から、定常状態の出力電圧はViとなります。そこで、0.1Viになる時間を求めると、

    \begin{align*} 0.1V_i &= \left(1-e^{-\frac{t_{0.1}}{\tau}}\right)V_i \\ e^{-\frac{t_{0.1}}{\tau}} &= 0.9\\ -\frac{t_{0.1}}{\tau} &= \ln0.9\\ t_{0.1} &= -\tau \ln0.9\\ t_{0.1} &\cong 0.105\tau \end{align*}

同様に、0.9Viになる時間は、

    \begin{align*} 0.9V_i = \left(1-e^{-\frac{t_{0.9}}{\tau}}\right)V_i \\ \end{align*}

から、

    \begin{align*} t_{0.9} &= -\tau \ln0.1\\ t_{0.9} &\cong 2.303\tau \end{align*}

となります。よって、立ち上がり時間Trは、

    \begin{align*} T_r &= t_{0.9}-t_{0.1}\\ &\cong2.303\tau-0.105\tau\\ &= 2.198\tau\\ &\cong2.2\tau~~~\eqno(2) \end{align*}

です。

※超高速の信号では、0.2Vから0.8Vとなる時間を立ち上がり時間と言う場合もあります。その際はもちろん2.2τではありません。でも、そのような場合、立ち上がり時間と時定数の関係を議論した記憶がありません。

帯域とは

高速・高周波回路では、「帯域」という言葉を使います。定性的には、「回路が使える周波数範囲」と言えます。定量的には、「出力電力がピーク値の半分になる周波数範囲」です。デシベルで考えると、ピーク電力をPとして、

    \begin{align*} 10\log_{10}\frac{P}{2} &= 10log_{10}P-10log_{10}2\\ &\cong10log_{10}P-3.01 \end{align*}

となります。つまり、ピークより3dB落ちたところの周波数が帯域の境目になります。
帯域の境目の周波数のことを帯域と呼ぶ場合もあります。

RC回路の帯域

ここで、RC回路の帯域を考えてみます。回路図を再掲します。

RC回路

RC回路

まず、ある角周波数ωにおける出力Voを考えると、

    \begin{align*} v_o=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}v_i \end{align*}

です。よって、入出力電圧の比である伝達関数G(ω)は、

    \begin{align*} G\left(\omega\right) &= \frac{v_o}{v_i}\\ &= \frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+\frac{1}{j\omega C}}\\ &= \frac{1}{1+j\omega RC} \end{align*}

です。|G(ω)|はω=0のとき最大で、|G(ω)|=1となります。

次に、帯域を考えます。
キャパシタにかかる電圧がVのとき、蓄えられる電力は、

    \begin{align*} P_c=\frac{1}{2}CV^2 \end{align*}

です。よって、帯域の境目となる電力が半分となる周波数では、

    \begin{align*} \frac{P_c}{2}=\frac{1}{2}C\left(\frac{V}{\sqrt{2}}\right)^2 \end{align*}

となり、振幅は1/\sqrt{2}となります。
すなわち、

    \begin{align*} \left|G\left(\omega\right)\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \left|\frac{1}{1+j\omega RC}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{1+\omega^2R^2C^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\\ 1+\omega^2R^2C^2=2\\ \omega^2R^2C^2=1\\ \omega RC=1\\ \omega=\frac{1}{RC}\\ 2\pi f=\frac{1}{RC}\\ f=\frac{1}{2\pi RC}~~~\eqno(3)\\ f=\frac{1}{2\pi \tau}~~~\eqno(4) \end{align*}

となります。式(3)又は式(4)が求める帯域です。

RC回路の帯域と立ち上がり時間の関係

ここまでくれば、RC回路の帯域と立ち上がり時間の関係は、式(2)と式(4)から導くことができます。
すなわち、式(2)から、

    \begin{align*} \tau\cong\frac{T_r}{2.2} \end{align*}

であり、これを(4)に代入すると、周波数帯域は、

    \begin{align*} \tau &\cong \frac{T_r}{2.2}\\ f &= \frac{1}{2\pi \tau}\\ f &\cong \frac{1}{2\pi \frac{T_r}{2.2}}\\ &\cong \frac{0.35}{T_r} \end{align*}

と求まります。

まとめ

本記事では、RC回路の立ち上がり時間Tr[s]が2.2τ、帯域が0.35/Trであることを導きました。
これらの関係は、サンプルホールド回路、AD変換器、オシロスコープ等を設計する際に重要です。

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