エミッタ接地、コレクタ接地、ベース接地間のSパラメータ変換公式

バイポーラトランジスタには、3通りの接地方式があります。
すなわち、エミッタ接地、コレクタ接地、ベース接地です。
本記事では、これらの接地間のSパラメータの変換公式を導きます。

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コレクタ接地のSパラメータをエミッタ接地のSパラメータに変換する公式

エミッタ接地のSパラメータの定義は、

(1)   \begin{align*} \left[\begin{array}{c}b_{1e}\\ b_{2e}\end{array}\right]= \begin{bmatrix}S_{11e} & S_{12e} \\S_{21e} & S_{22e} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}a_{1e}\\ a_{2e}\end{array}\right] \end{align*}

です。ここで、a1e、a2e、b1e、b2eを電圧と電流で表現すると、特性インピーダンスをZ0として、

(2)   \begin{align*} \begin{cases} a_{1e}=\frac{1}{2}\left(\frac{v_{be}}{\sqrt{Z_0}}+\sqrt{Z_0}\cdot i_b\right)\\ a_{2e}=\frac{1}{2}\left(\frac{v_{ce}}{\sqrt{Z_0}}+\sqrt{Z_0}\cdot i_c\right)\\ b_{1e}=\frac{1}{2}\left(\frac{v_{be}}{\sqrt{Z_0}}-\sqrt{Z_0}\cdot i_b\right)\\ b_{2e}=\frac{1}{2}\left(\frac{v_{ce}}{\sqrt{Z_0}}-\sqrt{Z_0}\cdot i_c\right)\\ \end{cases} \end{align*}

となります。
この式中のvbe、vce、icは、

(3)   \begin{align*} \begin{cases} v_{be}=v_{bc}-v_{ec}\\ v_{ce}=-v_{ec}\\ i_c=-i_b-i_e \end{cases} \end{align*}

という関係があります。
さらに、コレクタ接地のSパラメータの定義は、

(4)   \begin{align*} \left[\begin{array}{c}b_{1c}\\ b_{2c}\end{array}\right]=\begin{bmatrix}S_{11c} & S_{12c} \\S_{21c} & S_{22c} \end{bmatrix}\left[\begin{array}{c}a_{1c}\\ a_{2c}\end{array}\right] \end{align*}

ですが、a1c、a2c、b1c、b2cでvbc、vec、ib、ieを表現すると、

(5)   \begin{align*} \begin{cases} v_{bc}=\sqrt{Z_0}\left(a_{1c}+b_{1c}\right)\\ v_{ec}=\sqrt{Z_0}\left(a_{2c}+b_{2c}\right)\\ i_b=\frac{1}{\sqrt{Z_0}}\left(a_{1c}-b_{1c}\right)\\ i_e=\frac{1}{\sqrt{Z_0}}\left(a_{2c}-b_{2c}\right) \end{cases} \end{align*}

となります。よって、式(5)を式(3)に代入し、さらに式(2)に代入することで、式(2)は、a1c、a2c、b1c、b2cで表すことができます。さらに、b1c、b2cは、式(4)により、a1c、a2c及びコレクタ接地のSパラメータで表すことができます。このようにして変換された式(2)を式(1)に代入してまとめると、

(6)   \begin{align*} \frac{1}{2}\begin{bmatrix}2S_{11c}-S_{21c} & -1+2S_{12c}-S_{22c} \\1-S_{11c}-2S_{21c} & -S_{12c}-2S_{22c} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}a_{1c}\\ a_{2c}\end{array}\right]=\\ \frac{1}{2}\begin{bmatrix}S_{11e} & S_{12e} \\ S_{21e} & S_{22e} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2-S_{21c} & -1-S_{22c} \\-1+S_{11c} & -2+S_{12c} \end{bmatrix} \left[\begin{array}{c}a_{1c}\\ a_{2c}\end{array}\right] \end{align*}

となります。したがって、エミッタ接地のSパラメータは、コレクタ接地のSパラメータを使って、

(7)   \begin{align*} \begin{bmatrix}S_{11e} & S_{12e} \\ S_{21e} & S_{22e} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2S_{11c}-S_{21c} & -1+2S_{12c}-S_{22c} \\1-S_{11c}-2S_{21c} & -S_{12c}-2S_{22c} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}2-S_{21c} & -1-S_{22c} \\-1+S_{11c} & -2+S_{12c} \end{bmatrix} ^{-1} \end{align*}

となります。成分ごとに表すと、

    \begin{align*} S_{11e}=\frac{-1-3S_{11c}+2S_{12c}+2S_{21c}-S_{12c}S_{21c}-S_{22c}+S_{11c}S_{22c}}{-5+S_{11c}+2S_{12c}+2S_{21c}-S_{12c}S_{21c}-S_{22c}+S_{11c}S_{22c}}\\ S_{12e}=\frac{2\left(-1+S_{11c}+2S_{12c}-S_{12c}S_{21c}-S_{22c}+S_{11c}S_{22c}\right)}{-5+S_{11c}+2S_{12c}+2S_{21c}-S_{12c}S_{21c}-S_{22c}+S_{11c}S_{22c}}\\ S_{21e}=\frac{2\left(-1+S_{11c}+2S_{21c}-S_{12c}S_{21c}-S_{22c}+S_{11c}S_{22c}\right)}{-5+S_{11c}+2S_{12c}+2S_{21c}-S_{12c}S_{21c}-S_{22c}+S_{11c}S_{22c}}\\ S_{22e}=\frac{1-S_{11c}-2S_{12c}-2S_{21c}+S_{12c}S_{21c}-3S_{22c}-S_{11c}S_{22c}}{-5+S_{11c}+2S_{12c}+2S_{21c}-S_{12c}S_{21c}-S_{22c}+S_{11c}S_{22c}} \end{align*}

となります。

エミッタ接地のSパラメータをコレクタ接地のSパラメータにする、いわゆる逆変換は、添え字のcとeを交換するだけで同じ公式が使用できます。

ベース接地のSパラメータをエミッタ接地のSパラメータに変換する公式

前節と同様の手順により、次のようになります。

    \begin{align*} S_{11e}=\frac{1-3S_{11b}-2S_{12b}-2S_{21b}+S_{12b}S_{21b}-S_{22b}-S_{11b}S_{22b}}{-5-S_{11b}+2S_{12b}+2S_{21b}-S_{12b}S_{21b}+S_{22b}+S_{11b}S_{22b}}\\ S_{12e}=\frac{2\left(-1-S_{11b}+2S_{12b}-S_{12b}S_{21b}+S_{22b}+S_{11b}S_{22b}\right)}{-5-S_{11b}+2S_{12b}+2S_{21b}-S_{12b}S_{21b}+S_{22b}+S_{11b}S_{22b}}\\ S_{21e}=\frac{2\left(-1-S_{11b}+2S_{21b}-S_{12b}S_{21b}+S_{22b}+S_{11b}S_{22b}\right)}{-5-S_{11b}+2S_{12b}+2S_{21b}-S_{12b}S_{21b}+S_{22b}+S_{11b}S_{22b}}\\ S_{21e}=\frac{-1-S_{11b}+2S_{12b}+2S_{21b}-S_{12b}S_{21b}-3S_{22b}+S_{11b}S_{22b}}{-5-S_{11b}+2S_{12b}+2S_{21b}-S_{12b}S_{21b}+S_{22b}+S_{11b}S_{22b}} \end{align*}

エミッタ接地のSパラメータをベース接地のSパラメータにする逆変換は、添え字のbとeを交換するだけで同じ公式が使用できます。

まとめ

接地間のSパラメータの変換公式を導きました。

ベース接地とコレクタ接地間の変換公式は、必要性をあまり感じていないので、示しませんでした。どうしても必要な方は、エミッタ接地への変換を間に挟んで下さい。

途中の変換式は煩雑になるため、示しませんでした。自力で導き直して、間違いに気付かれた方がいらっしゃいましたら、お知らせください。

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