伝送線路を介して見るインピーダンスがスミスチャート上を時計回りに回るのはなぜか?

高周波回路の設計において、ある地点のインピーダンスはスミスチャート上の1点で表現できます。この地点から伝送線路を徐々に伸ばしたときのインピーダンスは、スミスチャート上で原点を中心に時計回りの円の軌跡を描きます。

これはどのような理由に基づくのでしょうか?

理由

伝送線路がx方向に延びているとき、伝送線路上の信号は、xの正方向に進む波と負方向に進む波から構成されることをこちらの記事で示しました。

すなわち、電圧は重ね合わせで表すことができて、

    $$ v\left(x,t\right)=K_1e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)}+K_2e^{-\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)}~~~\eqno(1) $$

でした。ただし、\alphaは減衰定数、\betaは位相定数、\omegaは角速度です。

(1)の第1項目はxの正方向に進む波を示します。伝送線路の特性インピーダンスをZ_0とすれば対応する電流は、

    $$ \frac{K_1}{Z_0}e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)} $$

です。また、第2項目はxの負方向に進む波であり、方向を含めて電流を考えれば、

    $$ -\frac{K_2}{Z_0}e^{\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)} $$

となります。よって、これらをまとめると電流は、

    $$ i(x,t)=\frac{K_1}{Z_0}e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)}-\frac{K_2}{Z_0}e^{\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)}~~~\eqno(2) $$

となります。

伝送線路

伝送線路

ここで、x地点の時間tにおけるインピーダンスは、(1)と(2)の比をとって、

    \begin{eqnarray*} Z\left(x,t\right) &=& \frac{v\left(x,t\right)}{i\left(x,t\right)} \\ &=& \frac{K_1e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)}+K_2e^{\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)}}{\frac{K_1}{Z_0}e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)}-\frac{K_2}{Z_0}e^{\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)}}\\ &=&\frac{1+\frac{K_2}{K_1}e^{2\alpha x+2j\beta x}}{1-\frac{K_2}{K_1}e^{2\alpha x+2j\beta x}}Z_0\\ &=& \frac{1+\Gamma_x}{1-\Gamma_x}Z_0 \end{eqnarray*}

となります。ただし、

    $$ \Gamma_x=\frac{K_2}{K_1}e^{2\alpha x+2j\beta x}~~~\eqno(3) $$

としました。

(3)を見るとtが消えていますね。何も手を加えないシステムのインピーダンスが時間で変化されては面倒ですので、一安心です。

ここで、\Gamma_xZ\left(x,t\right)で表すと、

    $$ \Gamma_x=\frac{Z\left(x,t\right)-Z_0}{Z\left(x,t\right)+Z_0}~~~\eqno(4) $$

となります。また、(3)と(4)でx=0とおくと、

    \begin{align*} \Gamma_0=\frac{K_2}{K_1}~~~\eqno(5)\\ \Gamma_0=\frac{Z\left(0,t\right)-Z_0}{Z\left(0,t\right)+Z_0}~~~\eqno(6) \end{align*}

となります。

ここで、(4)と(6)は、インピーダンスであるZ\left(z,t\right)Z\left(0,t\right)の反射係数を示しています。これはすなわち、スミスチャート上へのプロットでもあります。

また、(5)を(3)に代入することができて、

    $$ \Gamma_x=\Gamma_0e^{2\alpha x+2j\beta x} $$

という関係になるので、\Gamma_0について解くと、

    $$ \Gamma_0=\Gamma_xe^{-2\alpha x-2j\beta x}~~~\eqno(7) $$

となります。これは、x=xで反射係数が\Gamma_xであるインピーダンスをx=0から見たときの反射係数になります。

ここで\alphaは減衰定数であり、xが大きくなると\Gamma_00に近づきます。すなわち、\Gamma_xがいかなる値であっても、十分に遠方であればマッチングが取れているように見えるようになるということです。

手計算では普通\alpha=0とします。

また、\beta x=2\piになると元に戻るので、このときのxの値が波長\lambdaです。

すなわち、\beta\lambda=2\piを考慮して(7)を書き直すと、

    $$ \Gamma_0=\Gamma_xe^{-2j\beta x}=\Gamma_xe^{-2j\frac{2\pi}{\lambda} x} $$

となります。結局、

    $$ \Gamma_0=\Gamma_xe^{-j\frac{4\pi}{\lambda} x} $$

です。

スミスチャート上の回転

スミスチャート上の回転

これで、\Gamma_xから出発して、原点を中心に時計回りに回ることが確認できました。(∵複素平面でベクトルにe^{j\theta}を乗じると、原点を中心に反時計回りに\theta回転した場所に写像される。そこで、\theta=-4\pi/(\rambda x)とおけば、xが正の値をとったときに\thetaは負の値になるので、時計回りとなる)

ここで、xを4分の1波長、すなわち、x=\lambda/4とすると、

    $$ \Gamma_0=\Gamma_xe^{-j\frac{4\pi}{\lambda}x}=\Gamma_xe^{-j\frac{4\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{4}}=\Gamma_xe^{-j\pi}=-\Gamma_x $$

なので、原点を中心に点対称の位置に来ます。ショート(Z=0)がオープン(Z=\infty)、オープンがショートになるゆえんです。また、xを2分の1波長、すなわちx=\lambda/2とすると、

    $$ \Gamma_0=\Gamma_xe^{-j\frac{4\pi}{\lambda}x}=\Gamma_xe^{-j\frac{4\pi}{\lambda}\cdot\frac{\lambda}{2}}=\Gamma_xe^{-j2\pi}=\Gamma_x $$

なので、元のインピーダンスに戻ります。

まとめ

スミスチャート上でコンパスを使えば伝送線路を介して見たときのインピーダンスを作図できます。本記事では、その理由を示しました。

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