伝送線路を介して見るインピーダンスがスミスチャート上を時計回りに回る理由

高周波回路の設計において、ある地点のインピーダンスはスミスチャート上の１点で表現できます。この地点から伝送線路を徐々に伸ばしたときのインピーダンスは、スミスチャート上で原点を中心に時計回りの円の軌跡を描きます。

これはどのような理由に基づくのでしょうか？

理由
まとめ

理由

伝送線路がx方向に延びているとき、伝送線路上の信号は、 $x$ の正方向に進む波と負方向に進む波から構成されることをこちらの記事で示しました。

すなわち、電圧は重ね合わせで表すことができて、

$v\left(x,t\right)=K_1e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)}+K_2e^{\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)}~~~\eqno(1)$

です。ただし、 $\alpha$ は減衰定数、 $\beta$ は位相定数、 $\omega$ は角速度です。

また電流は、

$i(x,t)=\frac{K_1}{Z_0}e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)}-\frac{K_2}{Z_0}e^{\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)}~~~\eqno(2)$

です。

伝送線路

ここで、 $x$ 地点の時間 $t$ におけるインピーダンスは、(1)と(2)の比をとって、

$\begin{eqnarray*} Z\left(x,t\right) &=& \frac{v\left(x,t\right)}{i\left(x,t\right)} \\ &=& \frac{K_1e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)}+K_2e^{\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)}}{\frac{K_1}{Z_0}e^{-\alpha x+j\left(\omega t - \beta x\right)}-\frac{K_2}{Z_0}e^{\alpha x+j\left(\omega t + \beta x\right)}}\\ &=&\frac{1+\frac{K_2}{K_1}e^{2\alpha x+2j\beta x}}{1-\frac{K_2}{K_1}e^{2\alpha x+2j\beta x}}Z_0\\ &=& \frac{1+\Gamma_x}{1-\Gamma_x}Z_0 \end{eqnarray*}$

となります。ただし、

$\Gamma_x=\frac{K_2}{K_1}e^{2\alpha x+2j\beta x}~~~\eqno(3)$

としました。

(3)を見ると $t$ が消えていますね。何も手を加えないシステムのインピーダンスが時間で変化されては面倒ですので、一安心です。

ここで、 $\Gamma_x$ について解き直すと、

$\Gamma_x=\frac{Z\left(x,t\right)-Z_0}{Z\left(x,t\right)+Z_0}~~~\eqno(4)$

となります。また、(3)と(4)で $x=0$ とおくと、

$\Gamma_0=\frac{K_2}{K_1}~~~\eqno(5)$

$\Gamma_0=\frac{Z\left(0,t\right)-Z_0}{Z\left(0,t\right)+Z_0}~~~\eqno(6)$

となります。

ここで、(4)と(6)は、インピーダンス $Z\left(z,t\right)$ と $Z\left(0,t\right)$ の反射係数を示しています。これはスミスチャート上へのプロットと等価です。

また、(5)を(3)に代入すると、

$\Gamma_x=\Gamma_0e^{2\alpha x+2j\beta x}$

という関係になるので、 $\Gamma_0$ について解き直すと、

$\Gamma_0=\Gamma_xe^{-2\alpha x-2j\beta x}~~~\eqno(7)$

となります。これは、 $x=x$ で反射係数が $\Gamma_x$ であるインピーダンスを $x=0$ から見たときの反射係数になります。

ここで $\alpha$ は減衰定数であり、 $x$ が大きくなると $\Gamma_0$ が $0$ に近づきます。すなわち、 $\Gamma_x$ がいかなる値であっても、十分に遠方であればマッチングが取れているように見えるようになるということです。

手計算では普通 $\alpha=0$ とします。

また、 $\beta x=2\pi$ になると元に戻るので、このときの $x$ の値が波長 $\lambda$ です。

よって、 $\alpha=0$ と $\beta\lambda=2\pi$ を考慮して(7)を書き直すと、

$\Gamma_0=\Gamma_xe^{-2j\beta x}=\Gamma_xe^{-2j\frac{2\pi}{\lambda} x}$

となります。結局、

$\Gamma_0=\Gamma_xe^{-j\frac{4\pi}{\lambda} x}$

です。

スミスチャート上の回転

これは、 $\Gamma_x$ から出発して、原点を中心に時計回りに回った点を示す式です。（∵複素平面でベクトルに $e^{j\theta}$ を乗じると、原点を中心に反時計回りに $\theta$ 回転した場所に写像される。そこで、 $\theta=-4\pi x/\lambda$ とおけば、 $x$ が正の値をとったときに $\theta$ は負の値になるので、時計回りとなる）