λ/4変成器でインピーダンス変換ができる理由

高周波回路を設計していると、マッチングを取る等、インピーダンスを変換したい場面が出てきます。あなたは、Z_1Z_2のインピーダンス変換をするためには、特性インピーダンスが\sqrt{Z_1 Z_2}で、長さが\lambda/4変成器を使えばよいということをご存じのことでしょう。ただ、その原理を考えたことがありますでしょうか?

インピーダンス変換ができる理由

特性インピーダンスがZ_0のスミスチャートを考えます。

λ/4インピーダンス変換

λ/4インピーダンス変換

このスミスチャート上に、Z_0(スミスチャート上にプロットすると\Gamma_0)とは異なるインピーダンスZ_1(同\Gamma_1)をとります。

この\Gamma_1を、特性インピーダンスがZ_0で長さが\lambda/4の伝送線路を介して見ると、前回の記事に示したように、\Gamma_0を中心にして時計回りに半周回ったところに写像され、\Gamma_2Z_2)になります。

また、\Gamma_2から考えても同様に\Gamma_1になります。

つまり、Z_1Z_2は、Z_0\lambda/4変成器で相互にインピーダンス変換されることになります。

ここで、Z_1Z_2Z_0はどのような関係になるでしょうか?

まず、インピーダンスと反射の関係から、

    $$ \Gamma_1=\frac{Z_1-Z_0}{Z_1+Z_0} $$

及び

    $$ \Gamma_2=\frac{Z_2-Z_0}{Z_2+Z_0} $$

です。また、スミスチャートは\Gamma_0が原点であり、\Gamma_1\Gamma_2は符号を入れ替えた関係になるので、

    $$ \Gamma_2=-\Gamma_1 $$

です。これらを連立させると、

    \begin{eqnarray*} \frac{Z_2-Z_0}{Z_2+Z_0}&=&-\frac{Z_1-Z_0}{Z_1+Z_0} \\ \left(Z_1+Z_0\right)\left(Z_2-Z_0\right)&=&-\left(Z_1-Z_0\right)\left(Z_2+Z_0\right)\\ Z_1 Z_2-Z_0\left(Z_1-Z_2\right)-Z_0^2&=&-Z_1 Z_2-Z_0\left(Z_1-Z_2\right)+Z_0^2\\ 2 Z_0^2&=&2 Z_1 Z_2 \end{eqnarray*}

となります。よって、

    $$ Z_0=\sqrt{Z_1 Z_2} $$

です。

Z1、Z2は複素数でも成り立つ

図では、Z_1Z_2をたまたま実軸上に取りました。しかし、結果として得られた相乗平均を導くとき、Z_1Z_2が実数であることを要求してはいません。すなわち、複素数でも成り立ちます。

ただ、複素数の特性インピーダンスという話を聞いたことがないので、積であるZ_1Z_2は正の実数になる必要があります。

ここで、acを非負の実数、bdを実数として、

    $$ Z_1=a+jb $$

及び、

    $$ Z_2=c+jd $$

とおくと、

    \begin{eqnarray*} Z_1Z_2&=&\left(a+jb\right)\left(c+jd\right)\\ &=&ac-bd+j(ad+bc) \end{eqnarray*}

なので、

    $$ ad+bc=0 $$

を満たせば、

    $$ Z_0=\sqrt{ac-bd} $$

なる特性インピーダンスで、長さが\lambda/4の伝送線路によって相互にインピーダンス変換をすることができます。

特別な場合1

特別な場合として、b=0d=0を考えます。
ad+bc=0は明らかです。

このとき、Z_1=aZ_2=cとなり、抵抗性のインピーダンス同士であれば、Z_0=\sqrt{ac}\lambda/4線路で必ずインピーダンス変換ができます。

特別な場合2

別の特別な場合として、a=0c=0を考えます。
ad+bc=0は明らかです。

このとき、Z_1=jbZ_2=jdとなり、符号の異なるリアクタンス同士であれば、Z_0=\sqrt{-bd}\lambda/4線路で必ずインピーダンス変換ができます。

特別な場合3

更に別の特別な場合として、c=a>0d=-b\neq0を考えます。ad+bc=-ab+ba=0は明らかです。

このとき、Z_1=a+jbZ_2=a-jbとなり、共役複素数の関係です。これらは、Z_0=\sqrt{a^2+b^2}\lambda/4線路でインピーダンス変換ができます。

ブランチラインの解析ではこの理論を使います。

具体例

具体例1

Z_150\OmegaZ_2100\Omegaとすると、

    $$ Z_0=\sqrt{50\cdot 100}=50\sqrt{2} $$

となり、約70.7\Omega\lambda/4の伝送線路で相互にインピーダンス変換ができます。

具体例2

Z_125-j25\OmegaZ_225+j25\Omegaとすると、

    $$ Z_0=\sqrt{25^2+25^2}=\frac{50}{\sqrt{2}} $$

となり、約35.4\Omega\lambda/4の伝送線路で相互にインピーダンス変換ができます。

まとめ

スミスチャートの特性インピーダンスZ_050\Omegaに捕らわれることなく考えることが肝要です。

Z_0を見ると条件反射的に50\Omegaと考えてしまう方にとっては、コロンブスの卵的な考え方だと思います。

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