FパラメータをSパラメータに変換する

FパラメータをSパラメータに変換します。
同様の手順で、ZパラメータやYパラメータもSパラメータに変換できるはずです。

FパラメータからSパラメータへの変換

Fパラメータは、次のように表されます。ただし、の向きに注意します。

   

Sパラメータは、次のように表されます。

   

ここで、は入力波、は出力波です。これらは、又はのディメンションを持ち、二乗すると電力になる物理量です。

パラメータ変換するには、やを消したいので、これらをやで表すと、ポート１、ポート２の特性インピーダンスをそれぞれ、として、

   

   

   

   

となります。

(3)～(6)を(1)に代入すると、

   

となります。

行列のまま計算することもできると思いますが、複雑になるので、成分ごとに計算します。

すなわち、

   

と、

   

に分けます。

ここで、を左辺、を右辺に集めると、

   

と

   

になります。

これを行列に直すと、

   

となるので、左辺の行列の逆行列を左からかけると、

   

とおいたとき、

   

となり、

   

となるので、結局、

   

となります。

ここで、相反定理が成り立つ場合、となることを確認しておきましょう。

また特に、両ポートの特性インピーダンスが一致してとなる場合、

   

となります。

無損失回路で相反定理が成り立つ場合のマッチング

上述のように、ポート１、ポート２の特性インピーダンスが異なっていたとしても、相反定理が成り立つ場合、が成り立ちます。

ここで、さらに、無損失という条件を考えてみます。

すると、として入力した波は、反射波としてとなるか、透過波としてとして出てくるので、エネルギー保存則を考えると、

   

となります。また、として入力した波でも同様にして、

   

です。右辺が一致しているので、

   

となります。

この結果から、ポート２側を何らかの方法でマッチングさせて、とすることができれば、となるので、ポート１側もマッチングが取れることになります。

まとめ

とても覚えられません。導くのも面倒です。
一度導いた結果を後生大事に使うことにします。