FパラメータをSパラメータに変換する

FパラメータをSパラメータに変換します。
同様の手順で、ZパラメータやYパラメータもSパラメータに変換できるはずです。

FパラメータからSパラメータへの変換
無損失回路で相反定理が成り立つ場合のマッチング
まとめ

FパラメータからSパラメータへの変換

Fパラメータ

Fパラメータは、次のように表されます。ただし、 $i_2$ の向きに注意します。

$\begin{pmatrix}v_1\\ i_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_2\\ i_2\end{pmatrix}\eqno(1)$

Sパラメータ

Sパラメータは、次のように表されます。

$\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}S_{11} & S{12} \\ S_{21} & S_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1\\ a_2\end{pmatrix}\eqno(2)$

ここで、 $a_i$ は入力波、 $b_i$ は出力波です。これらは、 $V/\sqrt\Omega$ 又は $A\sqrt\Omega$ のディメンションを持ち、二乗すると電力になる物理量です。

パラメータ変換するには、 $v$ や $i$ を消したいので、これらを $a$ や $b$ で表すと、ポート１、ポート２の特性インピーダンスをそれぞれ $Z_1$ 、 $Z_2$ として、

$v_1=\left(a_1+b_1\right)\sqrt{Z_1}\eqno(3)$

$v_2=\left(a_2+b_2\right)\sqrt{Z_2}\eqno(4)$

$i_1=\frac{a_1-b_1}{\sqrt{Z_1}}\eqno(5)$

$i_2=\frac{-a_2+b_2}{\sqrt{Z_2}}\eqno(6)$

となります。

(3)～(6)を(1)に代入すると、

$\begin{pmatrix}\left(a_1+b_1\right)\sqrt{Z_1}\\ \frac{a_1-b_1}{\sqrt{Z_1}}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\left(a_2+b_2\right)\sqrt{Z_2}\\ \frac{-a_2+b_2}{\sqrt{Z_2}}\end{pmatrix}$

となります。

行列のまま計算することもできると思いますが、複雑になるので、成分ごとに計算します。

すなわち、

$\left(a_1+b_1\right)\sqrt{Z_1}= A\left(a_2+b_2\right)\sqrt{Z_2}+B\cdot\frac{-a_2+b_2}{\sqrt{Z_2}}$

と、

$\frac{a_1-b_1}{\sqrt{Z_1}}= C\left(a_2+b_2\right)\sqrt{Z_2}+D\cdot\frac{-a_2+b_2}{\sqrt{Z_2}}$

に分けます。

ここで、 $b_i$ を左辺、 $a_i$ を右辺に集めると、

$\sqrt{Z_1}\cdot b_1+\left(-A\sqrt{Z_2}-\frac{B}{\sqrt{Z_2}}\right)b_2= -\sqrt{Z_1}\cdot a_1+\left(A\sqrt{Z_2}-\frac{B}{\sqrt{Z_2}}\right)a_2$

と

$-\frac{1}{\sqrt{Z_1}}\cdot b_1+\left(-C\sqrt{Z_2}-\frac{D}{\sqrt{Z_2}}\right)b_2= -\frac{1}{\sqrt{Z_1}}\cdot a_1+\left(C\sqrt{Z_2}-\frac{D}{\sqrt{Z_2}}\right)a_2$

になります。

これを行列に直すと、

$\begin{pmatrix}{\sqrt{Z_1}} & {-A\sqrt{Z_2}-\frac{B}{\sqrt{Z_2}}} \\{-\frac{1}{\sqrt{Z_1}}} & {-C\sqrt{Z_2}-\frac{D}{\sqrt{Z_2}}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{-\sqrt{Z_1}} & {A\sqrt{Z_2}-\frac{B}{\sqrt{Z_2}}} \\{-\frac{1}{\sqrt{Z_1}}} & {C\sqrt{Z_2}-\frac{D}{\sqrt{Z_2}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$

となるので、左辺の行列の逆行列を左からかけると、

$\Delta=A\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\frac{B}{\sqrt{Z_1 Z_2}}+C\sqrt{Z_1 Z_2}+D\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}$

とおいたとき、

$\begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix} =\frac{1}{-\Delta}\begin{pmatrix} {-C\sqrt{Z_2}-\frac{D}{\sqrt{Z_2}}} & {A\sqrt{Z_2}+\frac{B}{\sqrt{Z_2}}} \\{\frac{1}{\sqrt{Z_1}}} & {\sqrt{Z_1}} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}{-\sqrt{Z_1}} & {A\sqrt{Z_2}-\frac{B}{\sqrt{Z_2}}} \\{-\frac{1}{\sqrt{Z_1}}} & {C\sqrt{Z_2}-\frac{D}{\sqrt{Z_2}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix}$

となり、

$\footnotesize\begin{align*} \begin{pmatrix}b_1\\ b_2\end{pmatrix} =\frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix}{A\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\frac{B}{\sqrt{Z_1 Z_2}}-C\sqrt{Z_1 Z_2}-D\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}} & {2\left(AD-BC\right)} \\{2} & {-A\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\frac{B}{\sqrt{Z_1 Z_2}}-C\sqrt{Z_1 Z_2}+D\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_1\\a_2\end{pmatrix} \end{align*}\normalsize$

となるので、結局、

$\footnotesize\begin{align*} \begin{pmatrix}{S_{11}}&{S_{12}}\\{S_{21}}&{S_{22}}\end{pmatrix} =\frac{1}{\Delta} \begin{pmatrix}{A\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\frac{B}{\sqrt{Z_1 Z_2}}-C\sqrt{Z_1 Z_2}-D\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}} & {2\left(AD-BC\right)} \\{2} & {-A\sqrt{\frac{Z_2}{Z_1}}+\frac{B}{\sqrt{Z_1 Z_2}}-C\sqrt{Z_1 Z_2}+D\sqrt{\frac{Z_1}{Z_2}}} \end{pmatrix} \end{align*}\normalsize$

となります。

ここで、相反定理 $AD-BC=1$ が成り立つ場合、 $S_{12}=S_{21}$ となることを確認しておきましょう。

また特に、両ポートの特性インピーダンスが一致して $Z_1=Z_2=Z_0$ となる場合、

$\begin{pmatrix}{S_{11}}&{S_{12}}\\{S_{21}}&{S_{22}}\end{pmatrix} =\frac{1}{A+\frac{B}{Z_0}+CZ_0+D}\begin{pmatrix}{A+\frac{B}{Z_0}-CZ_0-D} & {2\left(AD-BC\right)} \\{2} & {-A+\frac{B}{Z_0}-CZ_0+D} \end{pmatrix}$

となります。

無損失回路で相反定理が成り立つ場合のマッチング

上述のように、ポート１、ポート２の特性インピーダンスが異なっていたとしても、相反定理 $AD-BC=1$ が成り立つ場合、 $S_{12}=S_{21}$ が成り立ちます。

ここで、さらに、無損失という条件を考えてみます。

すると、 $a_1$ として入力した波は、反射波として $b_1$ となるか、透過波として $b_2$ として出てくるので、エネルギー保存則を考えると、

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{b_1}{a_1}\right|^2+\left|\frac{b_2}{a_1}\right|^2 &=& 1 \\ \therefore \left|S_{11}\right|^2+\left|S_{21}\right|^2 &=& 1 \end{eqnarray*}$

となります。また、 $a_2$ として入力した波でも同様にして、

$\left|S_{22}\right|^2+\left|S_{12}\right|^2 &=& 1$

です。右辺が一致しているので、

$\begin{eqnarray*} \left|S_{11}\right|^2+\left|S_{21}\right|^2 &=& \left|S_{22}\right|^2+\left|S_{12}\right|^2 \\ \therefore \left|S_{11}\right|^2 &=& \left|S_{22}\right|^2 \end{eqnarray*}$

となります。

この結果から、ポート２側を何らかの方法でマッチングさせて、 $S_{22}=0$ とすることができれば、 $S_{11}=0$ となるので、ポート１側もマッチングが取れることになります。

まとめ

とても覚えられません。導くのも面倒です。
一度導いた結果を後生大事に使うことにします。

下塩　義文より:

2022-06-23 11:12

わかりやすい解説ありがとうございます．計算してみましたが，Δの式が分母だけでいいのではないかと思います．私が間違っているかも知れませんが，とりあえずご連絡いたします．
　こちらも参考にしました．

https://ameblo.jp/yuutech/entry-11015131878.html

返信
- みすくより:
  
  2022-07-03 14:49
  
  下塩様
  ご指摘をありがとうございます。
  記載ミスでしたので、早速訂正いたしました。
  今後とも、お気付きの点がありましたらご指摘いただけますよう、お願い申し上げます。
  
  返信