2^iやi^iはどんな数？具体的数値を求めることはできるの？

オイラーの公式によれば、

$e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta$

となり、θが実数の場合、複素平面上の単位円上のいずれかの点になります。
にわかには信じがたいことですが、証明もできます。

そうなると、複素数の複素数乗って一般的に求められるの？と思いませんか？

例えば、 $2^i$ とか $i^i$ ってどんな数になるのか気になりませんか？

それをちょっと考えてみました。

一般化して解いてみる
2^iを考えてみる
i^iを考えてみる

一般化して解いてみる

先ず、一般化して解いてみます。つまり、

$\left( x + i y \right)^{a + i b}$

はどんな形に変形できるのでしょうか？
ここで、言うまでもなく、a、b、x、yは実数です。

まず、x + i yを極座標にします。

$x + i y = r e^{i\theta}$

rとθは、x = r cos θ、y = r sin θを満たすような値ですが、説明はしなくても大丈夫ですね？

さらに、rをeで表しておく必要があります。そうしないと、指数が虚数になった場合に手も足も出ません。

$r=e^{\gamma}$

とおくと、

$\ln r=\gamma$

なので、元の式に代入して、

$r=e^{\ln r}$

となります。

ここで、もう一度x + iyをrとθで表します。

$\begin{align*} x + i y &= r e^{i\theta} \\ &= e^{\ln r}\cdot e^{i\theta} \\ &=e^{\ln r + i\theta} \end{align*}$

です。

よって、指数も考慮すると、

$\begin{align*} \left( x + i y \right)^{a + i b}&=\left(e^{\ln r + i\theta} \right)^{a + ib} \\ &=e ^{\left(a \ln r - b\theta \right)+i\left(b \ln r + a\theta \right)} \end{align*}$

となります。

2^iを考えてみる

ここで $2^i$ を考えてみます。2は、r = 2、θ = 0です。また、指数はa = 0、b = 1なので、

$\begin{align*} 2^i&=e^{\left(0 \ln 2 - 1\cdot 0\right)+i\left(1 \ln 2 + 0 \cdot 0\right)}\\ &=e^{i\ln 2} \\ &\cong e^{0.693 i}\\ &=\cos\left(0.693\right)+i\sin\left(0.693\right)\\ &\cong0.769+i0.639 \end{align*}$