畳み込み積分とは何か?その意味をイメージしてみる

畳み込み積分とは、システムにインパルスを入力したときの応答を元に、任意の信号を入力したときの出力を計算する式です。

本記事でそのイメージを捉えていただければと思います。

畳み込み積分とは

時間波形は一般に、インパルス応答や単位ステップ応答(インディシャルレスポンス)を詳しく調べ、それらを重ね合わせて解析します。

インパルス応答を元に畳み込み積分で任意の入力に対する応答を得る

図1:インパルス応答を元に畳み込み積分で任意の入力に対する応答を得る

今、何らかのシステムにδ(t)というインパルスを与えたとき、g(t)というインパルス応答が得られたとします。
すると、そのシステムに、f(t)という任意の入力を与えた場合、(f*g)(t)という畳み込み積分で出力が得られます。多分、それだけのことです。

離散系で考えてみる

連続系で考えるから分かり難いのだと思います。離散系で考えてみましょう。

インパルス応答

図2:インパルス応答

今、図2の左に示すように、時刻0のときに1、他の時刻では0という入力を考えます。これが離散系のインパルスδ(t)です。(本来はzで表すべきかもしれませんが、分かり易さを考えてtとしています)

このとき、図2の右に示すように、出力が、時刻0、1、2で、それぞれ3、2、1だったとします。これが、インパルス応答g(t)です。

入力uと出力y

図3:入力u(t)と出力y(t)

ここで、説明の都合上、図3に示すように、離散系のパルス状の入力をu(t)、その出力をy(t)と書き直すことにします。今はu(t)がδ(t)、y(t)がg(t)ということになります。

出力が0でない時刻における出力値を式で表すと、

(1)   \begin{eqnarray*} y\left(0\right) &=& 3=1\times3=u\left(0\right)\times g\left(0\right) =u\left(0\right)\times g\left(0-0\right) \\ y\left(1\right) &=& 2=1\times2=u\left(0\right)\times g\left(1\right) =u\left(0\right)\times g\left(1-0\right) \\ y\left(2\right) &=& 1=1\times1=u\left(0\right)\times g\left(2\right) =u\left(0\right)\times g\left(2-0\right) \end{eqnarray*}

と考えることができます。
関数gについては、後述の説明に備えて時刻を変形しています。

時刻2で大きさが2の入力に対する応答

図4:時刻2で大きさが2の入力に対する応答

次に、図4の左に示すように、時刻2で大きさが2の入力に対する応答を考えます。
出力は、図4の右に示すように、時刻2から始まります。また、信号の大きさは2倍になるので、6、4、2になります。

出力値を式で表すと、

(2)   \begin{eqnarray*} y\left(2\right) &=& 6=2\times3=u\left(2\right)\times g\left(0\right) =u\left(2\right)\times g\left(2-2\right) \\ y\left(3\right) &=& 4=2\times2=u\left(2\right)\times g\left(1\right) =u\left(2\right)\times g\left(3-2\right) \\ y\left(4\right) &=& 2=2\times1=u\left(2\right)\times g\left(2\right) =u\left(2\right)\times g\left(4-2\right) \end{eqnarray*}

となります。すると、式(1)や(2)は全て、

(3)   \begin{equation*} y\left(t\right)=u\left(\tau\right)\times g\left(t-\tau\right) \end{equation*}

という形で示すことができます。

ここで、tは出力yを観測する時刻です。
τは、入力パルスが発生する時刻です。その入力パルスの大きさがuです。
gは、時刻τで発生した入力パルスuが時刻tにおいて出力yに及ぼす度合いを示します。

関数gでは、時刻τが遅ければ遅いほど、つまり大きければ大きいほど、g(t-τ)が右に移動することは明らかです。(例えば、y=a(x-x1)という一次関数のグラフが、y=axを右にx1だけ平行移動させたグラフになるのと同じ理屈です)
入力パルスが発生する時刻がτなのですから、対応する出力もτだけ右に移動させなければなりません。

重ね合わせ

図5:重ね合わせ

最後に、図5の左に示すように、f(t)としてt=0で大きさ1のパルス、t=2で大きさ2のパルスが発生した場合を考えてみましょう。すると、出力は、図5の右に示すように、図2と図4の重ね合わせになります。時刻2では、出力が干渉し、1+6=7という出力になります。

この出力y(t)の重ね合わせが畳み込み積分(f*g)(t)に相当します。
式で表せば、少しごまかしている感がありますが、

(4)   \begin{equation*} \left(f\ast g\right)\left(t\right)=\sum_i y_i\left(t\right)=\sum_i u_i\left(\tau_i\right)\times g\left(t-\tau_i\right)=\sum_if\left(\tau_i\right)\times g\left(t-\tau_i\right) \end{equation*}

ということになります。パルスuiの重ね合わせが任意の入力fになります。

この離散系の式を連続系の式に直せば、

(5)   \begin{equation*} \left(f\ast g\right)\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty} f\left(\tau\right)g\left(t-\tau\right)d\tau \end{equation*}

となり、よく見かける畳み込み積分の式となります。

まとめ

畳み込み積分が何であるか、少しでもイメージしていただけましたでしょうか。

本当は、線形時不変などの条件が必要なはずですが、そんなことを説明するうちに解らなくなってしまうので、省きました。
離散系と連続系の変換は、大学のゼミで時間をかけて検討しても理解できなかったので、ごまかしています。

もし、間違っている箇所がありましたら、ご教示ください。

 

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