コンデンサとインダクタに蓄えられるエネルギー

コンデンサに蓄えられるエネルギーは

$\begin{align*} \frac{1}{2}CV^2 \end{align*}$

です。
インダクタに蓄えられるエネルギーは

$\begin{align*} \frac{1}{2}LI^2 \end{align*}$

です。
これらを導きます。

エネルギーとは、力×距離
コンデンサに蓄えられるエネルギー
インダクタに蓄えられるエネルギー
まとめ

エネルギーとは、力×距離

エネルギーにはいろいろな形態があります。位置エネルギー、運動エネルギー、熱エネルギー、圧力エネルギー、等々。

一見、違うように見えますが、全てのエネルギーの和は保存されます。
ということは、何かしらの本質があるはずです。
その本質は何だと思いますか？

僕は、力×距離だと思います。

位置エネルギーは、質量をm、重力加速度をg、高さをhとすれば、mghです。mgが力、hが距離です。そのものですね。

運動エネルギーも力×距離で計算できます。
初速度0の物質が、加速度aを時間tだけ受け続けて、速度vになったとします。これを式で表すと、

$\begin{align*} v=at \end{align*}$

です。このとき進む距離xは、

$\begin{align*} x=\int_0^t v dt=\int_0^t at dt=\left[\frac{1}{2}at^2\right]_0^t=\frac{1}{2}at^2 \end{align*}$

です。積分を用いてすみません。
質量をmとすれば、この間、ずっと、

$\begin{align*} F=ma \end{align*}$

という力を受けているので、この物体が受け取るエネルギーEは、

$\begin{align*} E=Fx=ma\cdot \frac{1}{2}at^2=\frac{1}{2}m\left(at\right)^2=\frac{1}{2}mv^2 \end{align*}$

となり、よく見かける式になります。

よって、コンデンサやインダクタに蓄えられるエネルギーもこの攻め方で計算したいと思います。

コンデンサに蓄えられるエネルギー

ここでは、容量Cのコンデンサを電圧Vで充電したときのエネルギーを求めます。

図１：コンデンサの電極間の電荷qの移動

コンデンサは２つの電極が向かい合わせになっていて、そこに電荷が溜まる構造になっています。
上の電極に電荷Q、下の電極に電荷－Qが蓄えられている状態で、電極間の電圧がVになったとすると、このコンデンサの容量Cは、C=Q/Vで与えられます。
書き直せば、Q=CVです。これは、ガウスの法則から導くことができます。でも大体の方々は、Qという量の水をCという底面積の容積に入れれば、高さがVになるというイメージで覚えているのではないでしょうか？僕はそれで十分だと思います。ということで、この導出は省略します。

さて、２つの電極の間にVという電圧がかかっているとき、中間点はV/2、中間点と上の電極間の中点は3V/4という電圧になっています。つまり、距離と電圧の関係は一次式で表されます。この一次式の傾きを電界Eと言います。電極間の距離がdなら、

$\begin{align*} E=\frac{V}{d} \end{align*}$

です。

ここで、qという正の電荷を電界Eが下を向いている空間に持ってくると、qEという力が下向きにかかります。
これを電極間のｄという距離を運ぶとなると、エネルギーは力×距離なので、

$\begin{align*} qE\cdot d=q\cdot \frac{V}{d}\cdot d=qV \end{align*}$

が必要です（Quod Erat Demonstrandumが連想されますね）。

なんのことはない、原理を説明するため、わざわざ電界Eとか距離dを持ち出してきましたが、これらの変数は消えてしまいました。

ともかく、電極間の電圧がVのとき、qという正の電荷を運ぶためにはqVというエネルギーが必要になることが分かりました。

図２：コンデンサに蓄えられるエネルギー

では、電極に電荷の無い初めの状態において、必要なエネルギーはどうなるでしょうか？コンデンサには電荷が溜まっていないので、電極間の電圧は0です。つまり、qを運ぶのに要するエネルギーは0です。

念のため、中間地点も考えておきましょう。
電荷がQの半分、すなわちQ/2のとき、

$\begin{align*} \frac{Q}{2}=\frac{CV}{2} \end{align*}$

なので、電極間の電圧はV/2です。このとき電荷qを運ぶには、qV/2のエネルギーが必要です。

以上のことを図で示すと、図２のようになり、結局、三角形の面積がコンデンサに蓄えられるエネルギーE_Cになるので、

$\begin{align*} E_C=\frac{Q\cdot V}{2}=\frac{CV\cdot V}{2}=\frac{1}{2}CV^2 \end{align*}$

となります。

インダクタに蓄えられるエネルギー

インダクタンスLに電流Iが流れているときのエネルギーを求めます。

ファラデーの電磁誘導の法則によれば、コイルの巻き数をN、磁束をΦとしたとき、誘導起電力Vは、

$\begin{align*} V=-N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} \end{align*}$

となります。法則なので、観測した結果です。神様がそう決めたようです。
式中のNΦは、電流Iと自己インダクタンスLの積で表すこともできて、

$\begin{align*} N\Phi=LI \end{align*}$

となります。

これを話すと少し長くなります。（電流Iが流れると、磁場の強さHが現れて、それに透磁率μをかけると磁束密度Bになります。そのBにコイルの面積Sを乗じると磁束Φになり、さらにコイルの巻き数NをかけるとNΦになります。そのNΦとIとの比例係数がインダクタンスLです。でも、NとかSとかの測定にはかなりの誤差が伴うので、厳密性に欠ける気がするんですよね）
ともかく、この関係を使うと、NとLは定数なので、

$\begin{align*} V=-N\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}=-L\frac{\Delta I}{\Delta t} \end{align*}$