spiceモデルからバイポーラ・トランジスタの大信号等価回路を導いてみた

本記事では、spiceのバイポーラ・トランジスタ・モデルから簡単な大信号等価回路を導きます。

本記事で導く大信号等価回路
spiceのバイポーラ・トランジスタ・モデル
まとめ

本記事で導く大信号等価回路

バイポーラ・トランジスタで回路を設計する際には、まずはバイアス点（各端子の直流動作点）を求めることが必要です。そのためには、手計算であれ、シミュレーションであれ、大信号等価回路を用います。

NPN_transistor

NPNバイポーラ・トランジスタは上図のようなシンボルで表現されます。

簡単な大信号等価回路

これを最も簡単な大信号等価回路で表すと、ダイオードと電流制御型電流源で表すことができます。本記事では、これをspiceのモデルから導きます。

spiceのバイポーラ・トランジスタ・モデル

hspiceのマニュアル[1]によれば、飽和電流として（IBEとIBCを使わずに、）ISのみを用いた場合、コレクタ電流i_cとベース電流i_bは次の式で計算されます。

$\begin{eqnarray*} ic&=&\frac{ISeff}{qb}\cdot\left(\exp{\frac{vbe}{NF\cdot vt}}-\exp{\frac{vbc}{NR\cdot vt}}\right)-\frac{ISeff}{BR}\cdot\left(\exp{\frac{vbc}{NR\cdot vt}}-1\right) \\ & &-ISCeff\cdot \left(\exp{\frac{vbc}{NC\cdot vt}}-1\right) \\ ib&=&\frac{ISeff}{BF}\cdot\left(\exp{\frac{vbe}{NF\cdot vt}}-1\right)+\frac{ISeff}{BR}\cdot\left(\exp{\frac{vbc}{NR\cdot vt}}-1\right) \\ & &+ISEeff\cdot\left(\exp{\frac{vbe}{NE\cdot vt}}-1\right)+ISCeff\cdot\left(\exp{\frac{vbc}{NC\cdot vt}}-1\right) \end{eqnarray*}$

これらはかなり複雑ですので、簡素化してみます。
まず、 $ISeff=IS\cdot AREA\cdot M$ ですが、AREA（規格化されたエミッタ面積）もM（並列乗数）もデフォルト値は１なので、 $ISeff=IS$ とします。

次に、qbは、正規化されたベース電荷で、アーリ電圧（vceを変化させた場合のicの変化）を考えなければ、１で大丈夫です。

NF、NRは、発散係数（emission coefficient）で、電子とホールの再結合を考えないデフォルト値は1です。

さらに、ISEeffとISCeffは、それぞれベース・エミッタ間のリーク電流及びベース・コレクタ間のリーク電流を示すパラメータです。よほど厳密な解析をしない限り、無視できるので、デフォルト値の0を用います。

これらを考慮して書き直すと、コレクタ電流icは、

$\begin{eqnarray*} ic &=& IS\cdot\left(\exp{\frac{vbe}{vt}}-\exp{\frac{vbc}{vt}}\right)-\frac{IS}{BR}\cdot\left(\exp{\frac{vbc}{vt}}-1\right) \\ &=& IS\cdot\left(\exp{\frac{vbe}{vt}}-1\right)-IS\cdot\left(1+\frac{1}{BR}\right)\cdot\left(\exp{\frac{vbc}{vt}}-1\right)\\ &=& IS\cdot\left(\exp\frac{vbe}{vt}-1\right)-\frac{IS}{\alpha_R}\cdot\left(\exp\frac{vbc}{vt}-1\right) \end{eqnarray*}$

となります。だいぶ簡単になりました。
ここで、BR（=β_R）は逆方向で動作させたときのieとibの比であり、α_Rは逆方向で動作させたときのieとicの比です。つまり、

$\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{BR}=1+\frac{i_b}{i_e}=1+\frac{i_c-i_e}{i_e}=1+\frac{i_c}{i_e}-1=\frac{1}{\alpha_R} \end{eqnarray*}$

を使って式を変形しました。

また、ベース電流ibも同様に考えて、

$\begin{eqnarray*} ib=\frac{IS}{BF}\cdot\left(\exp{\frac{vbe}{vt}}-1\right)+\frac{IS}{BR}\cdot\left(\exp\frac{vbc}{vt}-1\right) \end{eqnarray*}$

となります。

ついでにエミッタ電流ieは、

$\begin{eqnarray*} ie &=& ic+ib\\ &=& IS\cdot\left(\exp\frac{vbe}{vt}-1\right)-\frac{IS}{\alpha_R}\cdot\left(\exp\frac{vbc}{vt}-1\right)\\ & &+\frac{IS}{BF}\cdot\left(\exp{\frac{vbe}{vt}}-1\right)+\frac{IS}{BR}\cdot\left(\exp\frac{vbc}{vt}-1\right)\\ &=& \frac{IS}{\alpha_F}\cdot\left(\exp\frac{vbe}{vt}-1\right)-IS\cdot\left(\exp\frac{vbc}{vt}-1\right) \end{eqnarray*}$

となります。icの式とieの式を合わせて、エバース・モルの式[2]になります。

さて、ここで、NPNの普通のバイアス状態におけるicを考えてみます。すなわち、 $vbe>>vt\left(\approx26\left[mV\right]\right)$ 、 $vbc<<0$ の場合です。このとき、icの第２項目の指数関数は0になるので、括弧内の数は-1となり、これにIS/α_Rがかかります。ISのデフォルト値は1E-16であり、α_Rの代表的な値は１から５程度[2]（spiceのデフォルト値は１）なので、結局第2項目は無視できて、