電圧源のインピーダンスはゼロ、電流源のインピーダンスは無限大

僕は大学で電気工学を学んでいました。
必修科目に「回路理論」があり、そこで、電圧源はインピーダンスがゼロ、電流源はインピーダンスが無限大だと教わりました。
その時は、「へぇ、そんなもんか」と思っただけで、何の実感もイメージも湧きませんでした。

しかし、実際に回路を設計し始めると、電圧源のインピーダンスがゼロとか、電流源のインピーダンスが無限大ということのイメージができてきます。ありがたみも覚えます。不思議なものです。

本記事では、それを数式で説明します。回路を設計したことがなければ、「へぇ、そんなもんか」という感じでしょう。でも、基礎なので、一度は考察しておいてもいいと思います。

電圧源
電流源
まとめ

電圧源

電圧源は、どんな負荷（簡単に言えば抵抗）を接続したとしても両端の電圧値が変わらないという電源です。

電圧源

テブナンの定理を使うと、点線の中に示すように、電源は電圧源EとインピーダンスR_Sの直列接続で表現できます。（すでに、電圧源はゼロインピーダンスであることを使っていることになりますが、それは、言わないことにしておきます）

このとき、電圧源に負荷として、R_L1をつないでも、R_L2（≠R_L1）をつないでも同じ電圧Vが観測されます。

電圧源は、直流でも交流でもかまいません。

では、式で考えてみます。

まず、負荷としてRL1をつないだ時の電圧は、

$V=\frac{R_{L1}}{R_{L1}+R_S}E$

となります。次に、RL2をつないだ時の電圧は、

$V=\frac{R_{L2}}{R_{L2}+R_S}E$

となります。

これらは等しいので、

$\frac{R_{L1}}{R_{L1}+R_S}E=\frac{R_{L2}}{R_{L2}+R_S}E$

となり、E≠0なので、両辺をEで割ると、

$\begin{eqnarray*}\frac{R_{L1}}{R_{L1}+R_S} &=& \frac{R_{L2}}{R_{L2}+R_S} \\\therefore R_{L1}\left(R_{L2}+R_S\right) &=& R_{L2}\left(R_{L1}+R_S\right) \\R_{L1}R_{L2}+R_{L1}R_S &=& R_{L1}R_{L2}+R_{L2}R_S \\R_S\left(R_{L1}-R_{L2}\right) &=& 0\end{eqnarray*}$

となります。

ゆえに、R_S=0またはR_L1=R_L2ですが、R_L1≠R_L2なので、R_S=0となります。

つまり電圧源のインピーダンスは0です。

このとき、

$\begin{eqnarray*}V &=& \frac{R_{L1}}{R_{L1}+0}E \\\therefore V &=& E\end{eqnarray*}$

でもあります。

電流源

次に電流源を考えます。

電流源は、どんな負荷（簡単に言えば抵抗）を接続したとしても流れ出す（又は流れ込む）電流値が変わらないという電源です。

電流源

ノートンの定理を使うと、電源は電流源JとインピーダンスR_Sの並列接続で表現できます。
（すでに、電流源は無限大のインピーダンスであることを使っていることになりますが、それは、言わないことにしておきます）

このとき、電流源に負荷としてR_L1をつないでもR_L2（≠R_L1）をつないでも同じ電流Iが観測されます。

電流源は、直流でも交流でもかまいません。

では、式で考えてみます。

まず、負荷としてR_L1をつないだ時の電流は、

$\begin{eqnarray*}I &=& \frac{R_S//R_{L1}}{R_{L1}}J \\I &=& \frac{R_S\cdot R_{L1}}{\left(R_S+R_{L1}\right)R_{L1}}J \\I &=& \frac{R_S}{R_S+R_{L1}}J\end{eqnarray*}$

となります。次にR_L2をつないだ時の電流は、

$I=\frac{R_S}{R_S+R_{L2}}J$

となります。

これらは等しいので、

$\frac{R_S}{R_S+R_{L1}}J=\frac{R_S}{R_S+R_{L2}}J$

となり、J≠0なので、両辺をJで割ると、

$\begin{eqnarray*}\frac{R_S}{R_S+R_{L1}}=\frac{R_S}{R_S+R_{L2}}\end{eqnarray*}$

となります。ここで、R_S=0だと外に電流が出てこないので、R_S≠0であり、R_Sで分母分子を割ると、

$\begin{eqnarray*}\frac{1}{1+R_{L1}/R_S} &=& \frac{1}{1+R_{L2}/R_S} \\\therefore 1+\frac{R_{L2}}{R_S} &=& 1+\frac{R_{L1}}{R_S} \\\therefore \frac{1}{R_S}\left(R_{L2}-R_{L1}\right) &=& 0\end{eqnarray*}$

となります。

ゆえに、1/R_S=0またはR_L1=R_L2ですが、R_L1≠R_L2なので、1/R_S=0すなわち、R_S=∞となります。

つまり、電流源のインピーダンスは無限大です。

このとき、

$\begin{eqnarray*}I=\lim_{R_S \rightarrow \infty}\frac{R_S}{R_S+R_{L1}}J \\=\lim_{R_S \rightarrow \infty}\frac{1}{1+R_{L1}/R_S}J \\=\frac{1}{1+0}J \\\therefore I=J\end{eqnarray*}$