水頭って何？ベルヌーイの定理を導きつつ考えてみた

水頭って何だ？
エネルギーとは何か？
ベルヌーイの定理から水頭を求める
まとめ

水頭って何だ？

電験３種の勉強をしていたとき、「水頭」（すいとう）という言葉が出て来ました。

高さの次元[m]を持つのですが、何のことかよく分かりませんでした。

エネルギーとは何か？

その後、紆余曲折を経て、エネルギーを知れば水頭が理解できることに思い至りました。

さて、エネルギーとは何でしょう？

運動エネルギーだったり、位置エネルギーだったり、熱エネルギーだったり、化学エネルギーだったりして、いろいろに形を変えます。ただし、形態を変えたとしても、合計量は保存されるようです。なぜ、人類はエネルギーという概念を獲得したのだろう？いったい何？

僕は、エネルギーの本質は「力×距離」にあると思います。

位置エネルギー

先ず、位置エネルギーを考えてみましょう。

質量が $m[kg]$ の物体に、重力加速度 $g[m/s^2]$ がかかると、鉛直下向きに $mg[N]$ の力がかかります。それを $0[m]$ の高さから $h[m]$ まで持ちあげると、 $mgh[J]$ のエネルギーが蓄えられます。

これは良く知られていることですよね。

エネルギーの単位ジュール $[J]$ の次元は、力の単位ニュートン $[N]$ と長さの単位メートル $[m]$ を掛けた次元です。

運動エネルギー

次に、運動エネルギーを考えてみましょう。

今、静止している質量 $m[kg]$ の物体を、一定の加速度 $a[m/s^2]$ で、速さ $v[m/s]$ にすることを考えてみます。

まず、加え続ける力 $F[N]$ は、

です。

次に、距離を求めなければなりません。
そのために、先ず、加速に要する時間を $T[s]$ とすると、

なので、

(1) $\begin{equation*} T=\frac{v}{a} \end{equation*}$

と求まります。

これを用いて、加速に要する距離を $L[m]$ を求めると、

$\begin{eqnarray*} L &=& \int_0^T v(t) dt \\ &=& \int_0^T a t dt \\ &=& \left [\frac{1}{2} a t^2 \right ]_0^T \\ &=& \frac{1}{2} a T^2 \end{eqnarray*}$

となります。よって(1)を代入すれば、

$L=\frac{1}{2} a \left( \frac{v}{a} \right)^2= \frac{v^2}{2 a}$

となります。
力 $F$ と距離 $L$ が求まったので、この積がエネルギー $E$ になります。

$E=F \cdot L=m a \frac{v^2}{2 a} = \frac{1}{2} m v^2$

これも良く知られている運動エネルギーの式です。

圧力エネルギー

さらに、圧力のエネルギーを考えてみます。

今、部屋と部屋の間に $P[Pa]$ の圧力差があり、部屋を仕切る断面積 $S[m^2]$ の壁を距離 $L[m]$ 押すことを考えます。ただし、押した前後で圧力差は変わらないこととします。（図中の $[PaG]$ は、大気圧からの圧力（ゲージ圧）を示す表記法です）

押す力は、 $P S[N]$ で、距離は $L[m]$ なので、系で増加するエネルギーは、 $P S L[J]$ です。ここで、 $S L$ は体積なので、これを $V$ とおくと、 $P V[J]$ と表すことができます。

余談ですが、理想気体の状態方程式は、 $P V = n R T$ です。左辺は今議論した通り、エネルギーです。つまり、理想気体の場合は、圧力エネルギーが温度エネルギーと等価であることが分かります。

ベルヌーイの定理から水頭を求める

いよいよ、ベルヌーイの定理を理解する時がやってきました。聞きなれない定理名かもしれませんが、恐れることはありません。簡単な足し算と割り算で求まります。

まず、エネルギー保存則によって、問答無用でエネルギーの和を一定値と置くことができます。

つまり、位置エネルギー、運動エネルギー、圧力エネルギーの和を考えて、

$m g h + \frac{1}{2} m v^2 + P V = const.$

が成り立ちます。

ここで、密度 $\rho[kg/m^3]$ を導入し、 $V/m=1/\rho$ となることに注意しながら両辺を $m$ で割ると、

$g h + \frac{1}{2} v^2 + \frac{P}{\rho} = const.$

となります。これがベルヌーイの定理です。簡単ですよね？

さらに第１項目を $h$ だけにするために、両辺を $g$ で割ると、

$h + \frac{v^2}{2 g} + \frac{P}{\rho g}=const.$

となります。第１項目から明らかなように、この式は高さ（長さ）の次元 $[m]$ を持っており、これを水頭（head）と言います。つまり、第１、２、３項をそれぞれ位置水頭、速度水頭、圧力水頭と言います。

水頭を使うと、次のようなことが分かります。
例えば、水平方向に $9.8[m/s]$ の速さを持つ水を上に向けると $4.9[m]$ の高さまで吹き上がります。
また、水に $9.8[kPaG]$ のゲージ圧をかけると水が $1.0[m]$ まで吹き上がります。
噴水の設計に使えそう。

まとめ

$P V$ がエネルギーであることを知っていれば、これを力学的エネルギーに加えることによって、ベルヌーイの定理が導けます。位置エネルギーの項が $h$ の次元になるように、ベルヌーイの定理を $g$ で割るなどすれば、水頭が求まります。水頭の式をわざわざ覚える必要はありません。