水頭って何だ?
電験3種の勉強をしていたとき、「水頭」(すいとう)という言葉が出て来ました。
高さの次元[m]を持つのですが、何のことかよく分かりませんでした。
エネルギーとは何か?
その後、紆余曲折を経て、エネルギーを知れば水頭が理解できることに思い至りました。
さて、エネルギーとは何でしょう?
運動エネルギーだったり、位置エネルギーだったり、熱エネルギーだったり、化学エネルギーだったりして、いろいろに形を変えます。ただし、形態を変えたとしても、合計量は保存されるようです。なぜ、人類はエネルギーという概念を獲得したのだろう?いったい何?
僕は、エネルギーの本質は「力×距離」にあると思います。
位置エネルギー
先ず、位置エネルギーを考えてみましょう。
質量がの物体に、重力加速度
がかかると、鉛直下向きに
の力がかかります。それを
の高さから
まで持ちあげると、
のエネルギーが蓄えられます。
これは良く知られていることですよね。
エネルギーの単位ジュールの次元は、力の単位ニュートン
と長さの単位メートル
を掛けた次元です。
運動エネルギー
次に、運動エネルギーを考えてみましょう。
今、静止している質量の物体を、一定の加速度
で、速さ
にすることを考えてみます。
まず、加え続ける力は、
です。
次に、距離を求めなければなりません。
そのために、先ず、加速に要する時間をとすると、
なので、
(1)
と求まります。
これを用いて、加速に要する距離をを求めると、
となります。よって(1)を代入すれば、
となります。
力と距離
が求まったので、この積がエネルギー
になります。
これも良く知られている運動エネルギーの式です。
圧力エネルギー
さらに、圧力のエネルギーを考えてみます。
今、部屋と部屋の間にの圧力差があり、部屋を仕切る断面積
の壁を距離
押すことを考えます。ただし、押した前後で圧力差は変わらないこととします。(図中の
は、大気圧からの圧力(ゲージ圧)を示す表記法です)
押す力は、で、距離は
なので、系で増加するエネルギーは、
です。ここで、
は体積なので、これを
とおくと、
と表すことができます。
余談ですが、理想気体の状態方程式は、です。左辺は今議論した通り、エネルギーです。つまり、理想気体の場合は、圧力エネルギーが温度エネルギーと等価であることが分かります。
ベルヌーイの定理から水頭を求める
いよいよ、ベルヌーイの定理を理解する時がやってきました。聞きなれない定理名かもしれませんが、恐れることはありません。簡単な足し算と割り算で求まります。
まず、エネルギー保存則によって、問答無用でエネルギーの和を一定値と置くことができます。
つまり、位置エネルギー、運動エネルギー、圧力エネルギーの和を考えて、
が成り立ちます。
ここで、密度を導入し、
となることに注意しながら両辺を
で割ると、
となります。これがベルヌーイの定理です。簡単ですよね?
さらに第1項目をだけにするために、両辺を
で割ると、
となります。第1項目から明らかなように、この式は高さ(長さ)の次元を持っており、これを水頭(head)と言います。つまり、第1、2、3項をそれぞれ位置水頭、速度水頭、圧力水頭と言います。
水頭を使うと、次のようなことが分かります。
例えば、水平方向にの速さを持つ水を上に向けると
の高さまで吹き上がります。
また、水にのゲージ圧をかけると水が
まで吹き上がります。
噴水の設計に使えそう。
まとめ
がエネルギーであることを知っていれば、これを力学的エネルギーに加えることによって、ベルヌーイの定理が導けます。位置エネルギーの項が
の次元になるように、ベルヌーイの定理を
で割るなどすれば、水頭が求まります。水頭の式をわざわざ覚える必要はありません。
コメント