電験に出てくる水頭って何だろう?エネルギー保存則から考えてみた

水頭って何だ?

電験3種の勉強をしていたとき、「水頭」(すいとう)という言葉が出て来ました。

高さの次元[m]を持つのですが、何のことかよく分かりませんでした。

エネルギーとは何か?

その後、紆余曲折を経て、エネルギーを知れば水頭が理解できることに思い至りました。

さて、エネルギーとは何でしょう?

運動エネルギーだったり、位置エネルギーだったり、熱エネルギーだったり、化学エネルギーだったりして、いろいろに形を変えます。ただし、形態を変えたとしても、合計量は保存されるようです。なぜ、人類はエネルギーという概念を獲得したのだろう?いったい何?

僕は、エネルギーの本質は「力×距離」にあると思います。

位置エネルギー

先ず、位置エネルギーを考えてみましょう。

質量がm[kg]の物体に、重力加速度g[m/s^2]がかかると、鉛直下向きにmg[N]の力がかかります。それを0[m]の高さからh[m]まで持ちあげると、mgh[J]のエネルギーが蓄えられます。

これは良く知られていることですよね。

エネルギーの単位ジュール[J]の次元は、力の単位ニュートン[N]と長さの単位メートル[m]を掛けた次元です。

運動エネルギー

次に、運動エネルギーを考えてみましょう。

今、静止している質量m[kg]の物体を、一定の加速度a[m/s^2]で、速さv[m/s]にすることを考えてみます。

まず、加え続ける力F[N]は、

    $$F=ma$$

です。

次に、距離を求めなければなりません。
そのために、先ず、加速に要する時間をT[s]とすると、

    $$v=aT$$

なので、

(1)   \begin{equation*} T=\frac{v}{a} \end{equation*}

と求まります。

これを用いて、加速に要する距離をL[m]を求めると、

     \begin{eqnarray*} L &=& \int_0^T v(t) dt \\ &=& \int_0^T a t dt \\ &=& \left [\frac{1}{2} a t^2 \right ]_0^T \\ &=& \frac{1}{2} a T^2 \end{eqnarray*}

となります。よって(1)を代入すれば、

    $$ L=\frac{1}{2} a \left( \frac{v}{a} \right)^2= \frac{v^2}{2 a} $$

となります。
Fと距離Lが求まったので、この積がエネルギーEになります。

    $$ E=F \cdot L=m a \frac{v^2}{2 a} = \frac{1}{2} m v^2 $$

これも良く知られている運動エネルギーの式です。

圧力エネルギー

さらに、圧力のエネルギーを考えてみます。

今、部屋と部屋の間にP[Pa]の圧力差があり、部屋を仕切る断面積S[m^2]の壁を距離L[m]押すことを考えます。ただし、押した前後で圧力差は変わらないこととします。(図中の[PaG]は、大気圧からの圧力(ゲージ圧)を示す表記法です)

押す力は、P S[N]で、距離はL[m]なので、系で増加するエネルギーは、P S L[J]です。ここで、S Lは体積なので、これをVとおくと、P V[J]と表すことができます。

余談ですが、理想気体の状態方程式は、P V = n R Tです。左辺は今議論した通り、エネルギーです。つまり、理想気体の場合は、圧力エネルギーが温度エネルギーと等価であることが分かります。

ベルヌーイの定理から水頭を求める

いよいよ、ベルヌーイの定理を理解する時がやってきました。聞きなれない定理名かもしれませんが、恐れることはありません。簡単な足し算と割り算で求まります。

まず、エネルギー保存則によって、問答無用でエネルギーの和を一定値と置くことができます。

つまり、位置エネルギー、運動エネルギー、圧力エネルギーの和を考えて、

    $$ m g h + \frac{1}{2} m v^2 + P V = const. $$

が成り立ちます。

ここで、密度\rho[kg/m^3]を導入し、V/m=1/\rhoとなることに注意しながら両辺をmで割ると、

    $$ g h + \frac{1}{2} v^2 + \frac{P}{\rho} = const. $$

となります。これがベルヌーイの定理です。簡単ですよね?

さらに第1項目をhだけにするために、両辺をgで割ると、

    $$ h + \frac{v^2}{2 g} + \frac{P}{\rho g}=const. $$

となります。第1項目から明らかなように、この式は高さ(長さ)の次元[m]を持っており、これを水頭(head)と言います。つまり、第1、2、3項をそれぞれ位置水頭、速度水頭、圧力水頭と言います。

水頭を使うと、次のようなことが分かります。
例えば、水平方向に9.8[m/s]の速さを持つ水を上に向けると4.9[m]の高さまで吹き上がります。
また、水に9.8[kPaG]のゲージ圧をかけると水が1.0[m]まで吹き上がります。
噴水の設計に使えそう。

まとめ

P Vがエネルギーであることを知っていれば、これを力学的エネルギーに加えることによって、ベルヌーイの定理が導けます。位置エネルギーの項がhの次元になるように、ベルヌーイの定理をgで割るなどすれば、水頭が求まります。水頭の式をわざわざ覚える必要はありません。

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