移相型発振器の一巡伝達関数の導き方

移相型発振器一巡伝達関数を導きます。

移相型発振器

移相型発振器

移相型発振器

移相型発振器は、反転増幅器の出力をRCのネットワークで位相を変え、反転増幅器に戻す型の発振器です。

位相は反転増幅器で180°RCのネットワークで180°変えることにより、合計360°回って正帰還となります。

RCネットワーク1段で変化できる移相量は90°未満なので、2段以下では180°回しきることができません。よって、RCネットワークは3段以上必要です。

ゲインKは、RCネットワークの損失分より大きければ発振が継続します。

RCのネットワークの伝達関数

発振器を解析するには、一巡伝達関数を求めます。

一巡伝達関数は、ループをどこかで切り、1本の帯状にしたときの出力と入力の比です。ループを切らないと、いわゆる無限ループになってしまい、解析することができません。

移相型発振器において、ループを切るところを反転増幅器の出力の地点とすると、RCネットワークと反転増幅器の縦続接続となります。

反転増幅器の伝達関数は、ゲイン倍すればいいだけなので、先ずは、RCネットワークの伝達関数を求めます。

RCネットワーク

RCネットワーク

図のように電圧vi、vo、va、vb、i1、i2、i3を定めます。簡単にするため、抵抗値Rと容量値Cはそれぞれ同一の値を用いることととします。

節点方程式を立てると、

(1)   \begin{equation*} v_i-v_a=i_1R \end{equation*}

(2)   \begin{equation*} v_a-v_b=i_2R \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} v_b-v_o=i_3R \end{equation*}

(4)   \begin{equation*} v_a=\frac{i_1-i_2}{sC} \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} v_b=\frac{i_2-i_3}{sC} \end{equation*}

(6)   \begin{equation*} v_o=\frac{i_3}{sC} \end{equation*}

となります。(4), (5), (6)で分母を消すと、

(7)   \begin{equation*} sCv_a=i_1-i_2 \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} sCv_b=i_2-i_3 \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} sCv_o=i_3 \end{equation*}

となります。ここで、(9)を(8)に代入すると、

(10)   \begin{equation*} sCv_b=i_2-sCv_o \end{equation*}

(11)   \begin{equation*} i_2=sC\left(v_b+v_o\right) \end{equation*}

となり、(11)を(7)に代入すると、

(12)   \begin{equation*} sCv_a=i_1-sC\left(v_b+v_o\right) \end{equation*}

(13)   \begin{equation*} i_1=sC\left(v_a+v_b+v_o\right) \end{equation*}

となり、(9)、(11)、(13)を(1)、(2)、(3)に代入して電流を消すと、

(14)   \begin{equation*} v_i-v_a=sCR\left(v_a+v_b+v_o\right) \end{equation*}

(15)   \begin{equation*} v_a-v_b=sCR\left(v_b+v_o\right) \end{equation*}

(16)   \begin{equation*} v_b-v_o=sCRv_o \end{equation*}

となります。(16)から、

(17)   \begin{equation*} v_b=\left(1+sCR\right)v_o \end{equation*}

となり、(15)に代入して、

(18)   \begin{equation*} v_a-\left(1+sCR\right)v_o=sCR\left\{\left(1+sCR\right)v_o+v_o\right\} \end{equation*}

(19)   \begin{equation*} v_a=\left(1+3sCR+s^2C^2R^2\right)v_o \end{equation*}

となり、(17)、(19)を(14)に代入して、

(20)   \footnotesize\begin{equation*} v_i-\left(1+3sCR+s^2C^2R^2\right)v_o=sCR\left\{\left(1+3sCR+s^2C^2R^2\right)v_o+\left(1+sCR\right)v_o+v_o\right\} \end{equation*}

(21)   \begin{equation*} v_i=\left(1+6sCR+5s^2C^2R^2+s^3C^3R^3\right)v_o \end{equation*}\normalsize

となります。よって、

(22)   \begin{equation*} \frac{v_o}{v_i}=\frac{1}{1+6sCR+5s^2C^2R^2+s^3C^3R^3} \end{equation*}

が得られます。

これにゲインKを乗じると、一巡伝達関数Gが、

(23)   \begin{equation*} G=\frac{K}{1+6sCR+5s^2C^2R^2+s^3C^3R^3} \end{equation*}

として得られます。角周波数ωで表したいのであれば、s=jωを代入して、

(24)   \begin{equation*} G=\frac{K}{1-5\omega^2C^2R^2+j\left(6\omega CR-\omega^3C^3R^3\right)} \end{equation*}

となります。以上がLPF型の場合です。

HPF型

HPF型

HPF型の場合は、(23)でRと1/sC、sCと1/Rを入れ替えればよいので、

(25)   \begin{eqnarray*} G&=&\frac{K}{1+\frac{6}{sCR}+\frac{5}{s^2C^2R^2}+\frac{1}{s^3C^3R^3}} \\ &=&\frac{Ks^3C^3R^3}{1+5sCR+6s^2C^2R^2+s^3C^3R^3} \end{eqnarray*}

となります。角周波数ωで表したいのであれば、

(26)   \begin{equation*} G=\frac{K\omega^3C^3R^3}{\omega^3C^3R^3-5\omega CR+j\left(1-6\omega^2C^2R^2\right)} \end{equation*}

です。

まとめ

移相型発振器の一巡伝達関数を導きました。

当初、va、vbを使わないで導こうと思いましたが、何度やっても導けませんでした。単純な計算ミスなのでしょうが、未だに原因が分かりません。

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