伝送線路をFパラメータで表す

伝送線路をFパラメータで表します。
一度くらいは自力で導いておこうと思いました。

伝送線路のFパラメータ
おまけ
1. インピーダンスが端子間に直列に入っている場合
2. インピーダンスが端子間に並列に入っている場合
まとめ

伝送線路のFパラメータ

伝送線路上の信号は、進む波と戻る波の重ね合わせで構成されます。特性インピーダンスを $Z_0$ とすると、次に示す電圧と電流の式で表すことができます。

$v\left(x,t\right)=K_1e^{-\alpha x+j\left(\omega t-\beta x\right)}+K_2e^{\alpha x+j\left(\omega t+\beta x\right)}$

$i\left(x,t\right)=\frac{K_1}{Z_0}e^{-\alpha x+j\left(\omega t-\beta x\right)}-\frac{K_2}{Z_0}e^{\alpha x+j\left(\omega t+\beta x\right)}$

ここで、 $\alpha$ は減衰定数、 $\beta$ は位相定数です。

Fパラメータ

さて、伝送線路の両端の電圧と電流を図に示すように $v_1,\ i_1,\ v_2,\ i_2$ とします。

伝送線路を $\left[0,\ l\right]$ の範囲で考えると、その端点では、

$v_1=v(0,t)=K_1e^{j\omega t}+K_2e^{j\omega t}\eqno (1)$

$i_1=i(0,t)=\frac{K_1}{Z_0}e^{j\omega t}-\frac{K_2}{Z_0}e^{j\omega t}\eqno (2)$

$v_2=v(l,t)=K_1e^{-\alpha l+j\left(\omega t-\beta l\right)}+K_2e^{\alpha l+j\left(\omega t+\beta l\right)}\eqno (3)$

$i_2=i(l,t)=\frac{K_1}{Z_0}e^{-\alpha l+j\left(\omega t-\beta l\right)}-\frac{K_2}{Z_0}e^{\alpha l+j\left(\omega t+\beta l\right)}\eqno (4)$

となります。(3)と(4)を連立させて解くと、

$K_1=\frac{1}{2}e^{\left(\alpha+j\beta\right)l-j\omega t}\left(v_2+Z_0i_2\right)\eqno (5)$

$K_2=\frac{1}{2}e^{\left(-\alpha-j\beta\right)l-j\omega t}\left(v_2-Z_0i_2\right)\eqno (6)$

となり、(5)、(6)を(1)、(2)に代入すると、

$\begin{eqnarray*} v_1&=&\frac{1}{2}e^{\left(\alpha+j\beta\right)l}\left(v_2+Z_0i_2\right)+\frac{1}{2}e^{-\left(\alpha+j\beta\right)l}\left(v_2-Z_0i_2\right) \\ &=&v_2\cosh\left\{\left(\alpha+j\beta\right)l\right\}+Z_0i_2 \sinh\left\{\left(\alpha+j\beta\right)l\right\}~~~\eqno (7) \end{eqnarray*}$

及び、

$\begin{eqnarray*} i_1&=&\frac{1}{2Z_0}e^{\left(\alpha+j\beta\right)l}\left(v_2+Z_0i_2\right)-\frac{1}{2Z_0}e^{-\left(\alpha+j\beta\right)l}\left(v_2-Z_0i_2\right) \\ &=&\frac{v_2}{Z_0}\sinh\left\{\left(\alpha+j\beta\right)l\right\}+ i_2\cosh\left{\left(\alpha+j\beta\right)l\right\}~~~\eqno (8) \end{eqnarray*}$

となります。

式変形では、双曲線関数の定義である

$\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$

と

$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

を使っています。

ところで、Fパラメータは、

$\begin{pmatrix}v_1\\ i_1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_2\\ i_2\end{pmatrix}~~~\eqno (9)$

ですので、(7)、(8)、(9)を比べることにより、

$\begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cosh\left\{\left(\alpha+j\beta\right)l\right\} & Z_0\sinh\left\{\left(\alpha+j\beta\right)l\right\} \\ \frac{1}{Z_0}\sinh\left\{\left(\alpha+j\beta\right)l\right\} & \cosh\left\{\left(\alpha+j\beta\right)l\right\} \end{pmatrix}~~~\eqno (10)$

となります。

式(10)が一般解ですが、損失を考えない場合は $\alpha=0$ とおけるので、

$\begin{eqnarray*} \cosh\left(j\beta l\right) &=& \frac{e^{j\beta l}+e^{-j\beta l}}{2} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\cos\beta l+j\sin\beta l+\cos\beta l-j\sin \beta l\right)\\ &=& \cos\beta l \end{eqnarray*}$

や

$\begin{eqnarray*} \sinh\left(j\beta l\right) &=& \frac{e^{j\beta l}-e^{-j\beta l}}{2} \\ &=& \frac{1}{2}\left(\cos\beta l+j\sin\beta l-\cos\beta l+j\sin \beta l\right)\\ &=& j\sin\beta l \end{eqnarray*}$

を考慮して、

$\begin{pmatrix}A & B \\C & D \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos \beta l & jZ_0\sin \beta l\\ j\frac{1}{Z_0}\sin \beta l & \cos \beta l \end{pmatrix}~~~\eqno (11)$